Norma ideal

En álgebra conmutativa , la norma de un ideal es una generalización de una norma de un elemento en la extensión del cuerpo . Es particularmente importante en la teoría de números, ya que mide el tamaño de un ideal de un anillo de números complicado en términos de un ideal en un anillo menos complicado . Cuando el anillo de números menos complicado se toma como el anillo de números enteros , Z , entonces la norma de un ideal distinto de cero I de un anillo de números R es simplemente el tamaño del anillo de cociente finito R / I .

Norma relativa

Sea A un dominio de Dedekind con cuerpo de fracciones K y clausura integral de B en una extensión separable finita L de K . (esto implica que B también es un dominio de Dedekind.) Sean y los grupos ideales de A y B , respectivamente (es decir, los conjuntos de ideales fraccionarios distintos de cero ). Siguiendo la técnica desarrollada por Jean-Pierre Serre , el mapa normativo ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{A}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{B}}$

${\displaystyle N_{B/A}\colon {\mathcal {I}}_{B}\to {\mathcal {I}}_{A}}$

es el único homomorfismo de grupo que satisface

${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[B/{\mathfrak {q}}:A/{\mathfrak {p}}]}}$

para todos los ideales primos distintos de cero de B , donde es el ideal primo de A que se encuentra por debajo de . ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

Alternativamente, cualquiera puede definir de manera equivalente que es el ideal fraccionario de A generado por el conjunto de normas de campo de elementos de B. [ ^1] ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{B}}$ ${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle \{N_{L/K}(x)|x\in {\mathfrak {b}}\}}$

Para , se tiene , donde . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{A}}$ ${\displaystyle N_{B/A}({\mathfrak {a}}B)={\mathfrak {a}}^{n}}$ ${\displaystyle n=[L:K]}$

La norma ideal de un ideal principal es entonces compatible con la norma de campo de un elemento:

${\displaystyle N_{B/A}(xB)=N_{L/K}(x)A.}$^[2]

Sea una extensión de Galois de campos numéricos con anillos de números enteros . ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$

Entonces lo anterior se aplica con , y para cualquier tenemos ${\displaystyle A={\mathcal {O}}_{K},B={\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}}$

${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}({\mathfrak {b}})=K\cap \prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma ({\mathfrak {b}}),}$

que es un elemento de . ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{K}}}$

La notación a veces se abrevia a , un abuso de notación que es compatible también con la escritura para la norma de campo, como se señaló anteriormente. ${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}}$ ${\displaystyle N_{L/K}}$ ${\displaystyle N_{L/K}}$

En el caso , es razonable utilizar números racionales positivos como rango para , ya que tiene un grupo de clase ideal trivial y un grupo unidad , por lo que cada ideal fraccionario distinto de cero de se genera mediante un número racional positivo determinado de forma única . Según esta convención, la norma relativa de abajo a coincide con la norma absoluta definida a continuación. ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle N_{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$

Norma absoluta

Sea un cuerpo de números con anillo de enteros , y un ideal distinto de cero (integral) de . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$

La norma absoluta de es ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle N({\mathfrak {a}}):=\left[{\mathcal {O}}_{L}:{\mathfrak {a}}\right]=\left|{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}\right|.\,}$

Por convención, la norma del ideal cero se toma como cero.

Si es un ideal principal , entonces ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(a)}$

${\displaystyle N({\mathfrak {a}})=\left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|}$. ^[3]

La norma es completamente multiplicativa : si y son ideales de , entonces ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$

${\displaystyle N({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}})N({\mathfrak {b}})}$. ^[3]

Por lo tanto, la norma absoluta se extiende únicamente a un homomorfismo de grupo.

${\displaystyle N\colon {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}\to \mathbb {Q} _{>0}^{\times },}$

definido para todos los ideales fraccionarios distintos de cero de . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$

La norma de un ideal se puede utilizar para dar un límite superior a la norma de campo del elemento distinto de cero más pequeño que contiene: ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

siempre existe un valor distinto de cero para el cual ${\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle \left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\left|\Delta _{L}\right|}}N({\mathfrak {a}}),}$

dónde

• ${\displaystyle \Delta _{L}}$es el discriminante de y ${\displaystyle L}$
• ${\displaystyle s}$es el número de pares de incrustaciones complejas (no reales) de L en (el número de lugares complejos de L ). ^[4] ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Véase también

• Norma de campo
• Función zeta de Dedekind

Referencias

1. Janusz, Gerald J. (1996), Campos numéricos algebraicos , Graduate Studies in Mathematics , vol. 7 (segunda ed.), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, Proposición I.8.2, ISBN 0-8218-0429-4, Sr.  1362545
2. Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 67, traducido por Greenberg, Marvin Jay , Nueva York: Springer-Verlag, 1.5, Proposición 14, ISBN 0-387-90424-7, Sr.  0554237
3. Marcus, Daniel A. (1977), Campos numéricos , Universitext, Nueva York: Springer-Verlag, Teorema 22c, ISBN 0-387-90279-1, Sr.  0457396
4. Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Berlín: Springer-Verlag, Lema 6.2, doi :10.1007/978-3-662-03983-0, ISBN 3-540-65399-6, Sr.  1697859