Norma de campo

En matemáticas , la norma (de campo) es un mapeo particular definido en la teoría de campos , que mapea elementos de un campo más grande en un subcampo.

Definicion formal

Sea K un campo y L una extensión finita (y por tanto una extensión algebraica ) de K.

El campo L es entonces un espacio vectorial de dimensión finita sobre K.

Multiplicación por α , un elemento de L ,

${\displaystyle m_{\alpha }\colon L\to L}$

${\displaystyle m_{\alpha }(x)=\alpha x}$,

es una K - transformación lineal de este espacio vectorial en sí mismo.

La norma , N _{L / K} ( α ), se define como el determinante de esta transformación lineal . ^[1]

Si L / K es una extensión de Galois , se puede calcular la norma de α ∈ L como el producto de todos los conjugados de Galois de α :

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ),}$

donde Gal( L / K ) denota el grupo de Galois de L / K . ^[2] (Tenga en cuenta que puede haber una repetición en los términos del producto.)

Para una extensión de campo general L / K , y α distinto de cero en L , sean σ ₁ ( α ), ..., σ _n ( α ) las raíces del polinomio mínimo de α sobre K (raíces enumeradas con multiplicidad y situadas en algún campo de extensión de L ); entonces

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\left(\prod _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha )\right)^{[L:K(\alpha )]}}$.

Si L / K es separable , entonces cada raíz aparece sólo una vez en el producto (aunque el exponente, el grado [ L : K ( α )], aún puede ser mayor que 1).

Ejemplos

Extensiones de campo cuadrático

Uno de los ejemplos básicos de normas proviene de extensiones de campos cuadráticos donde es un entero libre de cuadrados. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a}$

Entonces, el mapa de multiplicación por en un elemento es ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$

${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot (x+y\cdot {\sqrt {a}})=y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}}.}$

El elemento se puede representar mediante el vector. ${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

ya que existe una descomposición de suma directa como un espacio vectorial. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

La matriz de es entonces ${\displaystyle m_{\sqrt {a}}}$

${\displaystyle m_{\sqrt {a}}={\begin{bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}}$

y la norma es , ya que es el determinante de esta matriz . ${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {a}})=-a}$

Norma de Q(√2)

Considere el campo numérico . ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

El grupo Galois de over tiene orden y es generado por el elemento que envía a . Entonces la norma de es: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})(1-{\sqrt {2}})=-1.}$

La norma de campo también se puede obtener sin el grupo de Galois .

Arreglar una base de , digamos: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

${\displaystyle \{1,{\sqrt {2}}\}}$.

Luego la multiplicación por el número envía ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

1 a y ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$a . ${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$

Entonces el determinante de "multiplicar por " es el determinante de la matriz que envía el vector ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$(correspondiente al primer elemento base, es decir, 1) a , ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$(correspondiente al segundo elemento base, es decir, ) a , ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}}$

verbigracia.:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}.}$

El determinante de esta matriz es −1.

p -ésimas extensiones del campo raíz

Otra clase sencilla de ejemplos proviene de extensiones de campo de la forma en la que la factorización prima de no contiene potencias -ésimas, para un primo impar fijo. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

El mapa de multiplicación por de un elemento es ${\displaystyle {\sqrt[{p}]{a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\sqrt[{p}]{a}}(x)&={\sqrt[{p}]{a}}\cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&=a_{0}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}}$

dando la matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&a\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

El determinante da la norma.

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt[{p}]{a}})=(-1)^{p-1}a=a.}$

Números complejos sobre reales

La norma de campo de los números complejos a los números reales envía

x + iy

a

x ² + y ² ,

porque el grupo de Galois de over tiene dos elementos, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• el elemento de identidad y
• conjugación compleja,

y tomando el producto se obtiene ( x + iy )( x − iy ) = x ² + y ² .

campos finitos

Sea L = GF( q ⁿ ) una extensión finita de un campo finito K = GF( q ).

Dado que L / K es una extensión de Galois , si α está en L , entonces la norma de α es el producto de todos los conjugados de Galois de α , es decir ^[3]

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{(q^{n}-1)/(q-1)}.}$

En esta configuración tenemos las propiedades adicionales, ^[4]

• ${\displaystyle \forall \alpha \in L,\quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q})=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )}$
• ${\displaystyle \forall a\in K,\quad \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{n}.}$

Propiedades de la norma

Varias propiedades de la función norma son válidas para cualquier extensión finita. ^{[5] [6]}

Homomorfismo de grupo

La norma N _{L / K}  : L * → K * es un homomorfismo de grupo del grupo multiplicativo de L al grupo multiplicativo de K , es decir

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in L^{*}.}$

Además, si a en K :

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ for all }}\alpha \in L.}$

Si a ∈ K entonces ${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{[L:K]}.}$

Composición con extensiones de campo.

Además, la norma se comporta bien en torres de campos :

si M es una extensión finita de L , entonces la norma de M a K es simplemente la composición de la norma de M a L con la norma de L a K , es decir

${\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}.}$

Reducción de la norma

La norma de un elemento en una extensión de campo arbitraria se puede reducir a un cálculo más sencillo si ya se conoce el grado de la extensión de campo . Esto es

${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L:K(\alpha )]}}$^[6]

Por ejemplo, en el campo extensión , la norma de es ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}),K=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}}$

ya que el grado de extensión del campo es . ${\displaystyle L/K(\alpha )}$ ${\displaystyle 2}$

Detección de unidades

Para el anillo de números enteros de un campo numérico algebraico , un elemento es una unidad si y sólo si . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\pm 1}$

Por ejemplo

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} (\zeta _{3})/\mathbb {Q} }(\zeta _{3})=1}$

dónde

${\displaystyle \zeta _{3}^{3}=1}$.

Así, cualquier campo numérico cuyo anillo de números enteros contenga lo tiene como unidad. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle \zeta _{3}}$

Otras propiedades

La norma de un número entero algebraico es nuevamente un número entero, porque es igual (hasta el signo) al término constante del polinomio característico.

En la teoría algebraica de números también se definen normas para ideales . Esto se hace de tal manera que si I es un ideal distinto de cero de _OK , el anillo de números enteros del campo numérico K , N ( I ) es el número de clases de residuos en,  es decir, la cardinalidad de este anillo finito . Por tanto, esta norma ideal es siempre un número entero positivo. ${\displaystyle O_{K}/I}$

Cuando I es un ideal principal αO _K entonces N ( I ) es igual al valor absoluto de la norma Q de α , para α un entero algebraico .

Ver también

• Seguimiento de campo
• norma ideal
• Forma norma

Notas

1. Rotman 2002, pag. 940
2. Rotman 2002, pag. 943
3. Lidl y Niederreiter 1997, pág. 57
4. Mullen y Panario 2013, pag. 21
5. Romano 2006, pag. 151
6. Oggier. Introducción a la teoría algebraica de números (PDF) . pag. 15.

Referencias

• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997) [1983], Campos finitos , Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, vol. 20 (Segunda ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-39231-4, Zbl  0866.11069
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Manual de campos finitos , CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
• Roman, Steven (2006), Teoría de campos , Textos de Posgrado en Matemáticas , vol. 158 (Segunda ed.), Springer, Capítulo 8, ISBN 978-0-387-27677-9, Zbl  1172.12001
• Rotman, Joseph J. (2002), Álgebra moderna avanzada , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-087868-7