Ideal fraccionario

En matemáticas , en particular en álgebra conmutativa , el concepto de ideal fraccionario se introduce en el contexto de dominios integrales y es particularmente fructífero en el estudio de dominios de Dedekind . En cierto sentido, los ideales fraccionarios de un dominio integral son como ideales en los que se permiten denominadores . En contextos en los que se discuten tanto los ideales fraccionarios como los ideales de anillo ordinarios , a estos últimos a veces se los denomina ideales integrales para mayor claridad.

Definición y resultados básicos

Sea un dominio integral , y sea su campo de fracciones . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K=\operatorname {Frac} R}$

Un ideal fraccionario de es un submódulo de tal que existe un valor distinto de cero tal que . Se puede pensar que el elemento limpia los denominadores en , de ahí el nombre de ideal fraccionario. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle rI\subseteq R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I}$

Los ideales fraccionarios principales son aquellos submódulos de generados por un único elemento distinto de cero de . Un ideal fraccionario está contenido en si y solo si es un ideal (integral) de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Un ideal fraccionario se llama invertible si existe otro ideal fraccionario tal que ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle IJ=R}$

dónde

${\displaystyle IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathbb {Z} _{>0}\}}$

es el producto de los dos ideales fraccionarios.

En este caso, el ideal fraccionario está determinado de forma única y es igual al cociente ideal generalizado. ${\displaystyle J}$

${\displaystyle (R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

El conjunto de ideales fraccionarios invertibles forma un grupo abeliano con respecto al producto anterior, donde la identidad es el ideal unitario en sí. Este grupo se denomina grupo de ideales fraccionarios de . Los ideales fraccionarios principales forman un subgrupo . Un ideal fraccionario (distinto de cero) es invertible si y solo si es proyectivo como un módulo - . Geométricamente, esto significa que un ideal fraccionario invertible puede interpretarse como un fibrado vectorial de rango 1 sobre el esquema afín . ${\displaystyle (1)=R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(R)}$

Cada submódulo R finitamente generado de K es un ideal fraccionario y si es noetheriano estos son todos los ideales fraccionarios de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Dominios de Dedekind

En los dominios de Dedekind , la situación es mucho más sencilla. En particular, todo ideal fraccionario distinto de cero es invertible. De hecho, esta propiedad caracteriza a los dominios de Dedekind:

Un dominio integral es un dominio de Dedekind si y solo si todo ideal fraccionario distinto de cero es invertible.

El conjunto de ideales fraccionarios sobre un dominio de Dedekind se denota . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Div}}(R)}$

Su grupo cociente de ideales fraccionarios por el subgrupo de ideales fraccionarios principales es un invariante importante de un dominio de Dedekind llamado grupo de clases ideales .

Campos numéricos

Para el caso especial de cuerpos numéricos (como , donde = exp(2π i/n) ) hay un anillo asociado denotado como el anillo de números enteros de . Por ejemplo, para cuadrados libres y congruentes con . La propiedad clave de estos anillos es que son dominios de Dedekind. Por lo tanto, la teoría de ideales fraccionarios se puede describir para los anillos de números enteros de cuerpos numéricos. De hecho, la teoría de cuerpos de clases es el estudio de tales grupos de anillos de clases. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}=\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}\,]}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2,3{\text{ }}({\text{mod }}4)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Estructuras asociadas

Para el anillo de números enteros ^{[1] pg 2} de un cuerpo de números, el grupo de ideales fraccionarios forma un grupo denotado y el subgrupo de ideales fraccionarios principales se denota . El grupo de clase ideal es el grupo de ideales fraccionarios módulo los ideales fraccionarios principales, por lo que ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{K}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{K}:={\mathcal {I}}_{K}/{\mathcal {P}}_{K}}$

y su número de clase es el orden del grupo, . En cierto modo, el número de clase es una medida de qué tan "lejos" está el anillo de números enteros de ser un dominio de factorización único (UFD). Esto se debe a que si y solo si es un UFD. ${\displaystyle h_{K}}$ ${\displaystyle h_{K}=|{\mathcal {C}}_{K}|}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle h_{K}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Secuencia exacta para grupos de clases ideales

Hay una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{K}^{*}\to K^{*}\to {\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {C}}_{K}\to 0}$

asociado a cada campo numérico.

Teorema de estructura para ideales fraccionarios

Uno de los teoremas de estructura importantes para los ideales fraccionarios de un cuerpo numérico establece que cada ideal fraccionario se descompone de manera única hasta el ordenamiento como ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=({\mathfrak {p}}_{1}\ldots {\mathfrak {p}}_{n})({\mathfrak {q}}_{1}\ldots {\mathfrak {q}}_{m})^{-1}}$

para ideales primordiales

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i},{\mathfrak {q}}_{j}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$.

en el espectro de . Por ejemplo, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

${\displaystyle {\frac {2}{5}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}}$factores como ${\displaystyle (1+i)(1-i)((1+2i)(1-2i))^{-1}}$

Además, debido a que los ideales fraccionarios sobre un cuerpo numérico se generan de manera finita, podemos despejar los denominadores multiplicando por algún número para obtener un ideal . Por lo tanto ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle I={\frac {1}{\alpha }}J}$

Otro teorema de estructura útil es que los ideales fraccionarios integrales se generan con hasta 2 elementos. Llamamos ideal fraccionario a un subconjunto de integral . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Ejemplos

• ${\displaystyle {\frac {5}{4}}\mathbb {Z} }$es un ideal fraccionario sobre ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Para las divisiones ideales en como ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle (5)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}=\mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle (2-i)(2+i)}$
• Porque tenemos la factorización . Esto se debe a que si lo multiplicamos, obtenemos ${\displaystyle K=\mathbb {Q} _{\zeta _{3}}}$ ${\displaystyle (3)=(2\zeta _{3}+1)^{2}}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}(2\zeta _{3}+1)^{2}&=4\zeta _{3}^{2}+4\zeta _{3}+1\\&=4(\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3})+1\end{aligned}}}$

Como satisface , nuestra factorización tiene sentido. ${\displaystyle \zeta _{3}}$ ${\displaystyle \zeta _{3}^{2}+\zeta _{3}=-1}$

• Porque podemos multiplicar los ideales fraccionarios ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$

${\displaystyle I=(2,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}-{\frac {1}{2}})}$y ${\displaystyle J=(4,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}})}$

Para conseguir el ideal

${\displaystyle IJ=({\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}}).}$

Ideal divisional

Sea la intersección de todos los ideales fraccionarios principales que contienen un ideal fraccionario distinto de cero . ${\displaystyle {\tilde {I}}}$ ${\displaystyle I}$

De manera equivalente,

${\displaystyle {\tilde {I}}=(R:(R:I)),}$

donde como arriba

${\displaystyle (R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

Si entonces I se llama divisorial . ^[2] En otras palabras, un ideal divisorial es una intersección distinta de cero de algún conjunto no vacío de ideales principales fraccionarios. ${\displaystyle {\tilde {I}}=I}$

Si I es divisorial y J es un ideal fraccionario distinto de cero, entonces ( I  : J ) es divisorial.

Sea R un dominio local de Krull (por ejemplo, un dominio local noetheriano integralmente cerrado ). Entonces R es un anillo de valoración discreto si y solo si el ideal máximo de R es divisorio. ^[3]

Un dominio integral que satisface las condiciones de cadena ascendente en ideales divisorios se denomina dominio de Mori . ^[4]

Véase también

• Gavilla divisoria
• Teorema de Dedekind-Kummer

Notas

1. Childress, Nancy (2009). Teoría de campos de clases. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-72490-4.OCLC 310352143  .
2. Bourbaki 1998, §VII.1
3. Bourbaki 1998, cap. VII, § 1, n. 7. Proposición 11.
4. Barucci 2000.

Referencias

• Barucci, Valentina (2000), "Mori domains", en Glaz, Sarah ; Chapman, Scott T. (eds.), Non-Noetherian commutative ring theory , Matemáticas y sus aplicaciones, vol. 520, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., págs. 57–73, ISBN 978-0-7923-6492-4, Sr.  1858157
• Stein, William, Introducción computacional a la teoría algebraica de números (PDF)
• Capítulo 9 de Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1994), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Capítulo VII.1 de Bourbaki, Nicolas (1998), Álgebra conmutativa (2ª ed.), Springer Verlag , ISBN 3-540-64239-0
• Capítulo 11 de Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría de anillos conmutativos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, Sr.  1011461