Teorema de Hasse-Arf

Sobre los saltos de la filtración de numeración superior del grupo de Galois de una extensión de Galois finita

En matemáticas , específicamente en la teoría de cuerpos de clases locales , el teorema de Hasse-Arf es un resultado que concierne a los saltos de la filtración de numeración superior del grupo de Galois de una extensión de Galois finita . Un caso especial de este teorema, cuando los cuerpos de residuos son finitos, fue demostrado originalmente por Helmut Hasse ^[1] [ ^2] y el resultado general fue demostrado por Cahit Arf ^{[3] [4]} .

Declaración

Grupos de ramificación superior

El teorema trata de los grupos de ramificación superiores numerados de una extensión abeliana finita . Por lo tanto, supongamos que es una extensión de Galois finita, y que es una valoración normalizada discreta de K , cuyo cuerpo de residuos tiene característica p  > 0, y que admite una única extensión a L , digamos w . Denotemos por la valoración normalizada asociada ew de L y sea el anillo de valoración de L bajo . Sea grupo de Galois G y definamos el s -ésimo grupo de ramificación de para cualquier s real  ≥ −1 por ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle v_{K}}$ ${\displaystyle v_{L}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle v_{L}}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L/K}$

${\displaystyle G_{s}(L/K)=\{\sigma \in G\,:\,v_{L}(\sigma a-a)\geq s+1{\text{ for all }}a\in {\mathcal {O}}\}.}$

Así, por ejemplo, G ₋₁ es el grupo de Galois G . Para pasar a la numeración superior hay que definir la función ψ _{L / K} que a su vez es la inversa de la función η _{L / K} definida por

${\displaystyle \eta _{L/K}(s)=\int _{0}^{s}{\frac {dx}{|G_{0}:G_{x}|}}.}$

La numeración superior de los grupos de ramificación se define entonces por G ^t ( L / K ) =  G _s ( L / K ) donde s  =  ψ _{L / K} ( t ).

Estos grupos de ramificación superior G ^t ( L / K ) están definidos para cualquier t real  ≥ −1, pero como v _L es una valoración discreta, los grupos cambiarán en saltos discretos y no de forma continua. Por lo tanto, decimos que t es un salto de la filtración { G ^t ( L / K ) :  t  ≥ −1} si G ^t ( L / K ) ≠  G ^u ( L / K ) para cualquier u  >  t . El teorema de Hasse-Arf nos dice la naturaleza aritmética de estos saltos.

Enunciado del teorema

Con lo anterior planteado, el teorema establece que los saltos de la filtración { G ^t ( L / K ) :  t  ≥ −1} son todos números enteros racionales . ^{[4] [5]}

Ejemplo

Supóngase que G es cíclico de orden , residuo característico y es el subgrupo de de orden . El teorema dice que existen números enteros positivos tales que ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G(i)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p^{n-i}}$ ${\displaystyle i_{0},i_{1},...,i_{n-1}}$

${\displaystyle G_{0}=\cdots =G_{i_{0}}=G=G^{0}=\cdots =G^{i_{0}}}$

${\displaystyle G_{i_{0}+1}=\cdots =G_{i_{0}+pi_{1}}=G(1)=G^{i_{0}+1}=\cdots =G^{i_{0}+i_{1}}}$

${\displaystyle G_{i_{0}+pi_{1}+1}=\cdots =G_{i_{0}+pi_{1}+p^{2}i_{2}}=G(2)=G^{i_{0}+i_{1}+1}}$

...

${\displaystyle G_{i_{0}+pi_{1}+\cdots +p^{n-1}i_{n-1}+1}=1=G^{i_{0}+\cdots +i_{n-1}+1}.}$^[4]

Extensiones no abelianas

Para extensiones no abelianas, los saltos en la filtración superior no necesitan ser en números enteros. Serre dio un ejemplo de una extensión totalmente ramificada con el grupo de Galois, el grupo de cuaterniones de orden 8 con ${\displaystyle Q_{8}}$

• ${\displaystyle G_{0}=Q_{8}}$
• ${\displaystyle G_{1}=Q_{8}}$
• ${\displaystyle G_{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle G_{3}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle G_{4}=1}$

La numeración superior satisface entonces

• ${\displaystyle G^{n}=Q_{8}}$   para ${\displaystyle n\leq 1}$
• ${\displaystyle G^{n}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$   para ${\displaystyle 1<n\leq 3/2}$
• ${\displaystyle G^{n}=1}$   para ${\displaystyle 3/2<n}$

Entonces tiene un salto en el valor no integral . ${\displaystyle n=3/2}$

Notas

1. Hasse, Helmut (1930). "Führer, Diskriminante und Verzweigungskörper relativ-Abelscher Zahlkörper". J. Reina Angew. Matemáticas. (en alemán). 162 : 169–184. doi :10.1515/crll.1930.162.169. SEÑOR  1581221.
2. H. Hasse, Normenresttheorie galoisscher Zahlkörper mit Anwendungen auf Führer und Diskriminante abelscher Zahlkörper , J. Fac. Ciencia. Tokio 2 (1934), págs. 477–498.
3. Arf, Cahit (1939). "Untersuchungen über reinverzweigte Erweiterungen diskret bewerteter perfekter Körper". J. Reina Angew. Matemáticas. (en alemán). 181 : 1–44. doi :10.1515/crll.1940.181.1. Señor  0000018. Zbl  0021.20201.
4. Serre (1979) IV.3, pág.76
5. Neukirch (1999) Teorema 8.9, p.68

Referencias

• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8.MR  1697859.Zbl 0956.11021  .​
• Serre, Jean-Pierre (1979), Campos locales , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 67, traducido por Greenberg, Marvin Jay , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90424-7, MR  0554237, Zbl  0423.12016