Categoría monoidal

Categoría que admite productos tensores

En matemáticas , una categoría monoidal (o categoría tensorial ) es una categoría equipada con un bifunctor. ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle \otimes :\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$

que es asociativo hasta un isomorfismo natural , y un objeto I que es a la vez una identidad izquierda y derecha para ⊗, nuevamente hasta un isomorfismo natural. Los isomorfismos naturales asociados están sujetos a ciertas condiciones de coherencia , que aseguran que todos los diagramas relevantes conmuten .

El producto tensorial ordinario convierte los espacios vectoriales , los grupos abelianos , los R -módulos o las R -álgebras en categorías monoidales. Las categorías monoidales pueden considerarse como una generalización de estos y otros ejemplos. Cada categoría monoidal ( pequeña ) también puede considerarse como una " categorización " de un monoide subyacente , es decir, el monoide cuyos elementos son las clases de isomorfismo de los objetos de la categoría y cuya operación binaria está dada por el producto tensorial de la categoría.

Una aplicación bastante diferente, para la cual las categorías monoidales pueden considerarse una abstracción, es un sistema de tipos de datos cerrados bajo un constructor de tipos que toma dos tipos y construye un tipo agregado. Los tipos sirven como objetos, y ⊗ es el constructor agregado. La asociatividad hasta el isomorfismo es entonces una forma de expresar que diferentes formas de agregar los mismos datos —como y — almacenan la misma información aunque los valores agregados no necesariamente sean los mismos. El tipo agregado puede ser análogo a la operación de adición (tipo suma) o de multiplicación (tipo producto). Para el tipo producto, el objeto identidad es la unidad , por lo que solo hay un habitante del tipo, y es por eso que un producto con él siempre es isomorfo al otro operando. Para el tipo suma, el objeto identidad es el tipo void , que no almacena información, y es imposible dirigirse a un habitante. El concepto de categoría monoidal no presupone que los valores de tales tipos agregados puedan separarse; por el contrario, proporciona un marco que unifica la teoría de la información clásica y cuántica . ^[1] ${\displaystyle ((a,b),c)}$ ${\displaystyle (a,(b,c))}$ ${\displaystyle ()}$

En la teoría de categorías , las categorías monoidales se pueden utilizar para definir el concepto de un objeto monoide y una acción asociada sobre los objetos de la categoría. También se utilizan en la definición de una categoría enriquecida .

Las categorías monoidales tienen numerosas aplicaciones fuera de la teoría de categorías propiamente dicha. Se utilizan para definir modelos para el fragmento multiplicativo de la lógica lineal intuicionista . También forman la base matemática para el orden topológico en la física de la materia condensada . Las categorías monoidales trenzadas tienen aplicaciones en la información cuántica , la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas .

Definición formal

Una categoría monoidal es una categoría dotada de una estructura monoidal. Una estructura monoidal consta de lo siguiente: ${\displaystyle \mathbf {C} }$

• un bifunctor llamado producto monoidal , ^[2] o producto tensorial , ${\displaystyle \otimes \colon \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$
• un objeto llamado unidad monoidal , ^[2] objeto unidad u objeto identidad , ${\displaystyle I}$
• tres isomorfismos naturales sujetos a ciertas condiciones de coherencia que expresan el hecho de que la operación tensorial:
  • es asociativo: hay un isomorfismo natural (en cada uno de los tres argumentos , , ) , llamado asociador , con componentes , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon A\otimes (B\otimes C)\cong (A\otimes B)\otimes C}$
  • tiene como identidad izquierda y derecha: existen dos isomorfismos naturales y , respectivamente llamados unitor izquierdo y derecho , con componentes y . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \lambda _{A}\colon I\otimes A\cong A}$ ${\displaystyle \rho _{A}\colon A\otimes I\cong A}$

Tenga en cuenta que una buena forma de recordar cómo y actuar es mediante la aliteración; Lambda , , cancela la identidad de la izquierda , mientras que Rho , , cancela la identidad de la derecha . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$

Las condiciones de coherencia para estas transformaciones naturales son:

• para todos , , y en , el diagrama del pentágono ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Este es uno de los principales diagramas utilizados para definir una categoría monoidal; es quizás el más importante.

desplazamientos ;

• Para todos y en , el diagrama triangular ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Este es uno de los diagramas utilizados en la definición de una categoría monoidal. Se ocupa del caso en el que existe una instancia de identidad entre dos objetos.

desplazamientos diarios.

Una categoría monoidal estricta es aquella en la que los isomorfismos naturales α , λ y ρ son identidades. Toda categoría monoidal es monoidalmente equivalente a una categoría monoidal estricta.

Ejemplos

• Cualquier categoría con productos finitos puede considerarse monoidal, siendo el producto monoidal el producto y el objeto terminal la unidad. A este tipo de categoría se la denomina a veces categoría monoidal cartesiana . Por ejemplo:
  • Conjunto , categoría de conjuntos cuyo producto cartesiano es cualquier conjunto particular de un elemento que sirve como unidad.
  • Gato , la categoría de pequeñas categorías con la categoría de producto , donde la categoría con un objeto y sólo su mapa de identidad es la unidad.
• Dualmente, cualquier categoría con coproductos finitos es monoidal, con el coproducto como producto monoidal y el objeto inicial como unidad. Una categoría monoidal de este tipo se llama cocartesiana monoidal.
• R -Mod , la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R , es una categoría monoidal en la que el producto tensorial de módulos ⊗ _R actúa como producto monoidal y el anillo R (considerado como un módulo sobre sí mismo) actúa como unidad. Como casos especiales se tienen:
  • K -Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre un campo K , donde el espacio vectorial unidimensional K sirve como unidad.
  • Ab , la categoría de grupos abelianos , con el grupo de números enteros Z como unidad.
• Para cualquier anillo conmutativo R , la categoría de las R -álgebras es monoidal con el producto tensorial de las álgebras como producto y R como unidad.
• La categoría de espacios puntiagudos (restringida a espacios generados de forma compacta , por ejemplo) es monoidal, con el producto de choque como producto y la esfera 0 puntiaguda (un espacio discreto de dos puntos) como unidad.
• La categoría de todos los endofunctores en una categoría C es una categoría monoidal estricta con la composición de funtores como el producto y el funtor identidad como la unidad.
• Al igual que para cualquier categoría E , la subcategoría completa abarcada por cualquier objeto dado es un monoide, es el caso que para cualquier 2-categoría E , y cualquier objeto C en Ob( E ), la 2-subcategoría completa de E abarcada por { C } es una categoría monoidal. En el caso E = Cat , obtenemos el ejemplo de endofunctores anterior.
• Las semirredes acotadas por encima de los puntos de encuentro son categorías monoidales simétricas estrictas : el producto es el punto de encuentro y la identidad es el elemento superior.
• Cualquier monoide ordinario es una pequeña categoría monoidal con un conjunto de objetos , solo identidades para morfismos , como producto tensorial y como su objeto identidad. Por el contrario, el conjunto de clases de isomorfismo (si tal cosa tiene sentido) de una categoría monoidal es un monoide con respecto al producto tensorial. ${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 1}$
• Cualquier monoide conmutativo puede realizarse como una categoría monoidal con un único objeto. Recordemos que una categoría con un único objeto es lo mismo que un monoide ordinario. Mediante un argumento de Eckmann-Hilton , añadir otro producto monoidal a requiere que el producto sea conmutativo. ${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$ ${\displaystyle M}$

Propiedades y nociones asociadas

De las tres condiciones de coherencia que definen la coherencia se desprende que una gran clase de diagramas (es decir, diagramas cuyos morfismos se construyen utilizando identidades , , , y producto tensorial) conmutan: este es el " teorema de coherencia " de Mac Lane . A veces se afirma de forma incorrecta que todos esos diagramas conmutan. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$

Existe una noción general de objeto monoide en una categoría monoidal, que generaliza la noción ordinaria de monoide del álgebra abstracta . Los monoides ordinarios son precisamente los objetos monoides en la categoría monoidal cartesiana Set . Además, cualquier categoría monoidal estricta (pequeña) puede verse como un objeto monoide en la categoría de categorías Cat (dotada de la estructura monoidal inducida por el producto cartesiano).

Los funtores monoidales son los funtores entre categorías monoidales que preservan el producto tensorial y las transformaciones naturales monoidales son las transformaciones naturales, entre esos funtores, que son "compatibles" con el producto tensorial.

Cada categoría monoidal puede verse como la categoría B (∗, ∗) de una bicategoría B con un solo objeto, denotado ∗.

El concepto de una categoría C enriquecida en una categoría monoidal M reemplaza la noción de un conjunto de morfismos entre pares de objetos en C por la noción de un M - objeto de morfismos entre cada dos objetos en C.

Categoría monoidal estricta libre

Para cada categoría C , la categoría monoidal estricta libre Σ( C ) se puede construir de la siguiente manera:

• sus objetos son listas (secuencias finitas) A ₁ , ..., A _n de objetos de C ;
• hay flechas entre dos objetos A ₁ , ..., A _m y B ₁ , ..., B _n sólo si m = n , y entonces las flechas son listas (secuencias finitas) de flechas f ₁ : A ₁ → B ₁ , ..., f _n : A _n → B _n de C ;
• el producto tensorial de dos objetos A ₁ , ..., A _n y B ₁ , ..., B _m es la concatenación A ₁ , ..., A _n , B ₁ , ..., B _m de las dos listas y, de manera similar, el producto tensorial de dos morfismos viene dado por la concatenación de listas. El objeto identidad es la lista vacía.

Esta operación Σ que asigna la categoría C a Σ( C ) se puede extender a una mónada 2 estricta en Cat .

Especializaciones

• Si, en una categoría monoidal, y son naturalmente isomorfos de manera compatible con las condiciones de coherencia, hablamos de una categoría monoidal trenzada . Si, además, este isomorfismo natural es su propio inverso, tenemos una categoría monoidal simétrica . ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle B\otimes A}$
• Una categoría monoidal cerrada es una categoría monoidal en la que el funtor tiene un adjunto derecho , que se denomina "Hom-funtor interno" . Entre los ejemplos se incluyen categorías cerradas cartesianas como Set , la categoría de conjuntos, y categorías cerradas compactas como FdVect , la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita. ${\displaystyle X\mapsto X\otimes A}$ ${\displaystyle X\mapsto \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,X)}$
• Las categorías autónomas (o categorías cerradas compactas o categorías rígidas ) son categorías monoidales en las que existen duales con propiedades agradables; abstraen la idea de FdVect .
• Categorías monoidales simétricas de tipo dagger , equipadas con un funtor dagger adicional, que abstraen la idea de FdHilb , espacios de Hilbert de dimensión finita. Entre ellas se encuentran las categorías compactas de tipo dagger .
• Las categorías de Tannakian son categorías monoidales enriquecidas sobre un cuerpo, que son muy similares a las categorías de representación de grupos algebraicos lineales .

Monoides preordenados

Un monoide preordenado es una categoría monoidal en la que por cada dos objetos , existe como máximo un morfismo en C . En el contexto de los preórdenes, un morfismo a veces se denota . Las propiedades de reflexividad y transitividad de un orden, definidas en el sentido tradicional, se incorporan a la estructura categórica mediante el morfismo identidad y la fórmula de composición en C , respectivamente. Si y , entonces los objetos son isomorfos, lo que se denota . ${\displaystyle c,c'\in \mathrm {Ob} (\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle c\to c'}$ ${\displaystyle c\to c'}$ ${\displaystyle c\leq c'}$ ${\displaystyle c\leq c'}$ ${\displaystyle c'\leq c}$ ${\displaystyle c,c'}$ ${\displaystyle c\cong c'}$

La introducción de una estructura monoidal en el preorden C implica construir

• un objeto , llamado unidad monoidal , y ${\displaystyle I\in \mathbf {C} }$
• un funtor , denotado por " ", llamado multiplicación monoidal . ${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \;\cdot \;}$

${\displaystyle I}$y debe ser unital y asociativo, hasta el isomorfismo, es decir: ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle (c_{1}\cdot c_{2})\cdot c_{3}\cong c_{1}\cdot (c_{2}\cdot c_{3})}$y . ${\displaystyle I\cdot c\cong c\cong c\cdot I}$

Como · es un funtor,

si y entonces . ${\displaystyle c_{1}\to c_{1}'}$ ${\displaystyle c_{2}\to c_{2}'}$ ${\displaystyle (c_{1}\cdot c_{2})\to (c_{1}'\cdot c_{2}')}$

Las demás condiciones de coherencia de las categorías monoidales se cumplen a través de la estructura de preorden, ya que cada diagrama conmuta en un preorden.

Los números naturales son un ejemplo de un preorden monoidal: tener una estructura monoide (usando + y 0) y una estructura de preorden (usando ≤) forma un preorden monoidal como e implica . ${\displaystyle m\leq n}$ ${\displaystyle m'\leq n'}$ ${\displaystyle m+m'\leq n+n'}$

El monoide libre en algún grupo electrógeno produce un preorden monoidal, produciendo el sistema semi-Thue .

Véase también

• Portal de matemáticas

• Esqueleto (teoría de categorías)
• Categoría esférica
• Acción de categoría monoidal

Referencias

1. Baez, John ; Stay, Mike (2011). "Física, topología, lógica y computación: una piedra de Rosetta" (PDF) . En Coecke, Bob (ed.). Nuevas estructuras para la física . Apuntes de clase en física. Vol. 813. Springer. págs. 95–172. arXiv : 0903.0340 . CiteSeerX  10.1.1.296.1044 . doi :10.1007/978-3-642-12821-9_2. ISBN 978-3-642-12821-9. ISSN  0075-8450. S2CID  115169297. Zbl  1218.81008.
2. Fong, Brendan; Spivak, David I. (12 de octubre de 2018). "Siete bocetos sobre composicionalidad: una invitación a la teoría de categorías aplicada". arXiv : 1803.05316 [math.CT].

• Joyal, André ; Street, Ross (1993). "Categorías tensoriales trenzadas" (PDF) . Avances en Matemáticas . 102 (1): 20–78. doi : 10.1006/aima.1993.1055 .
• Joyal, André; Street, Ross (1988). "Diagramas planares y álgebra tensorial" (PDF) .
• Kelly, G. Max (1964). "Sobre las condiciones de MacLane para la coherencia de las asociatividades naturales, conmutatividades, etc." Journal of Algebra . 1 (4): 397–402. doi : 10.1016/0021-8693(64)90018-3 .
• Kelly, GM (1982). Conceptos básicos de la teoría de categorías enriquecidas (PDF) . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 64. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-28702-9. OCLC  1015056596. Zbl  0478.18005.
• Mac Lane, Saunders (1963). "Asociatividad natural y conmutatividad". Estudios de la Universidad Rice . 49 (4): 28–46. CiteSeerX  10.1.1.953.2731 . hdl :1911/62865.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 5 (2.ª ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.Zbl 0906.18001  .
• Perrone, Paolo (2024). "Capítulo 6. Categorías monoidales". Teoría de categorías iniciales . World Scientific. doi :10.1142/9789811286018_0005. ISBN 978-981-12-8600-1.
• Selinger, P. (2010). "Un estudio de lenguajes gráficos para categorías monoidales". Nuevas estructuras para la física . Apuntes de clases de física. Vol. 813. págs. 289–355. arXiv : 0908.3347 . doi :10.1007/978-3-642-12821-9_4. ISBN . 978-3-642-12820-2.
• Categoría monoidal en el laboratorio n

Enlaces externos

• Medios relacionados con la categoría Monoidal en Wikimedia Commons