Categoría cerrada compacta

Tipo especial de categoría con "objetos duales"

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , las categorías cerradas compactas son un contexto general para tratar objetos duales . La idea de objeto dual generaliza el concepto más familiar de dual de un espacio vectorial de dimensión finita . Entonces, el ejemplo motivador de una categoría cerrada compacta es FdVect , la categoría que tiene espacios vectoriales de dimensión finita como objetos y mapas lineales como morfismos , con el producto tensorial como estructura monoide . Otro ejemplo es Rel , la categoría que tiene conjuntos como objetos y relaciones como morfismos, con estructura monoidal cartesiana .

Categoría cerrada compacta simétrica

Una categoría monoidal simétrica es compacta cerrada si cada objeto tiene un objeto dual . Si esto se cumple, el objeto dual es único hasta el isomorfismo canónico y se denota . ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$ ${\displaystyle A\in \mathbf {C} }$ ${\displaystyle A^{*}}$

Con un poco más de detalle, un objeto se llama dual de si está equipado con dos morfismos llamados unidad y cuenta , que satisfacen las ecuaciones ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \eta _{A}:I\to A^{*}\otimes A}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}:A\otimes A^{*}\to I}$

${\displaystyle \lambda _{A}\circ (\varepsilon _{A}\otimes A)\circ \alpha _{A,A^{*},A}^{-1}\circ (A\otimes \eta _{A})\circ \rho _{A}^{-1}=\mathrm {id} _{A}}$

y

${\displaystyle \rho _{A^{*}}\circ (A^{*}\otimes \varepsilon _{A})\circ \alpha _{A^{*},A,A^{*}}\circ (\eta _{A}\otimes A^{*})\circ \lambda _{A^{*}}^{-1}=\mathrm {id} _{A^{*}},}$

donde están la introducción de la unidad a la izquierda y a la derecha, respectivamente, y es el asociador. ${\displaystyle \lambda ,\rho }$ ${\displaystyle \alpha }$

Para mayor claridad, reescribimos las composiciones anteriores en forma de diagrama. Para que sea compacto y cerrado, necesitamos que los siguientes compuestos sean iguales : ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}}$

${\displaystyle A{\xrightarrow {\cong }}A\otimes I{\xrightarrow {A\otimes \eta }}A\otimes (A^{*}\otimes A){\xrightarrow {\cong }}(A\otimes A^{*})\otimes A{\xrightarrow {\epsilon \otimes A}}I\otimes A{\xrightarrow {\cong }}A}$

y : ${\displaystyle \mathrm {id} _{A^{*}}}$

${\displaystyle A^{*}{\xrightarrow {\cong }}I\otimes A^{*}{\xrightarrow {\eta \otimes A^{*}}}(A^{*}\otimes A)\otimes A^{*}{\xrightarrow {\cong }}A^{*}\otimes (A\otimes A^{*}){\xrightarrow {A^{*}\otimes \epsilon }}A^{*}\otimes I{\xrightarrow {\cong }}A^{*}}$

Definición

De manera más general, supongamos que es una categoría monoidal , no necesariamente simétrica, como en el caso de una gramática de pregrupo . La noción anterior de tener un dual para cada objeto A se reemplaza por la de tener un adjunto izquierdo y uno derecho y , con una unidad izquierda correspondiente , una unidad derecha , una unidad izquierda y una unidad derecha . Estos deben satisfacer las cuatro condiciones de extracción , cada una de las cuales son identidades: ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A^{l}}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle \eta _{A}^{l}:I\to A\otimes A^{l}}$ ${\displaystyle \eta _{A}^{r}:I\to A^{r}\otimes A}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}^{l}:A^{l}\otimes A\to I}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}^{r}:A\otimes A^{r}\to I}$

${\displaystyle A\to A\otimes I{\xrightarrow {\eta ^{r}}}A\otimes (A^{r}\otimes A)\to (A\otimes A^{r})\otimes A{\xrightarrow {\epsilon ^{r}}}I\otimes A\to A}$

${\displaystyle A\to I\otimes A{\xrightarrow {\eta ^{l}}}(A\otimes A^{l})\otimes A\to A\otimes (A^{l}\otimes A){\xrightarrow {\epsilon ^{l}}}A\otimes I\to A}$

y

${\displaystyle A^{r}\to I\otimes A^{r}{\xrightarrow {\eta ^{r}}}(A^{r}\otimes A)\otimes A^{r}\to A^{r}\otimes (A\otimes A^{r}){\xrightarrow {\epsilon ^{r}}}A^{r}\otimes I\to A^{r}}$

${\displaystyle A^{l}\to A^{l}\otimes I{\xrightarrow {\eta ^{l}}}A^{l}\otimes (A\otimes A^{l})\to (A^{l}\otimes A)\otimes A^{l}{\xrightarrow {\epsilon ^{l}}}I\otimes A^{l}\to A^{l}}$

Es decir, en el caso general, una categoría cerrada compacta es a la vez rígida a la izquierda y a la derecha , y bicerrada .

Las categorías cerradas compactas no simétricas encuentran aplicaciones en lingüística , en el área de gramáticas categoriales y específicamente en gramáticas pregrupales , donde se requieren los distintos adjuntos izquierdo y derecho para capturar el orden de las palabras en las oraciones. En este contexto, las categorías monoidales cerradas compactas se denominan pregrupos ( Lambek ) .

Propiedades

Las categorías cerradas compactas son un caso especial de categorías cerradas monoidales , que a su vez son un caso especial de categorías cerradas .

Las categorías cerradas compactas son precisamente las categorías autónomas simétricas . También son *-autónomos .

Todo compacto cerrado de categoría C admite traza . Es decir, para cada morfismo , se puede definir ${\displaystyle f:A\otimes C\to B\otimes C}$

${\displaystyle \mathrm {Tr_{A,B}^{C}} (f)=\rho _{B}\circ (id_{B}\otimes \varepsilon _{C})\circ \alpha _{B,C,C^{*}}\circ (f\otimes C^{*})\circ \alpha _{A,C,C^{*}}^{-1}\circ (id_{A}\otimes \eta _{C^{*}})\circ \rho _{A}^{-1}:A\to B}$

que se puede demostrar que es un rastro adecuado. Es útil dibujar esto en forma de diagrama: ${\displaystyle A{\xrightarrow {\cong }}A\otimes I{\xrightarrow {A\otimes \eta _{C^{*}}}}A\otimes (C\otimes C^{*}){\xrightarrow {\cong }}(A\otimes C)\otimes C^{*}{\xrightarrow {\;\;f\otimes C^{*}\;\;}}(B\otimes C)\otimes C^{*}{\xrightarrow {\cong }}B\otimes (C\otimes C^{*}){\xrightarrow {B\otimes \varepsilon _{C}}}B\otimes I{\xrightarrow {\cong }}B.}$

Ejemplos

El ejemplo canónico es la categoría FdVect con espacios vectoriales de dimensión finita como objetos y mapas lineales como morfismos. Aquí está el dual habitual del espacio vectorial . ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$

La categoría de representaciones de dimensión finita de cualquier grupo también es compacta y cerrada.

La categoría Vect , con todos los espacios vectoriales como objetos y mapas lineales como morfismos, no es cerrada compacta; es monoide simétrico cerrado.

categoría simplex

La categoría simplex se puede utilizar para construir un ejemplo de categoría cerrada compacta no simétrica. La categoría simplex es la categoría de ordinales finitos distintos de cero (vistos como conjuntos totalmente ordenados ); sus morfismos son mapas que preservan el orden ( monótonos ). Lo convertimos en una categoría monoide moviéndonos a la categoría de flecha , por lo que los objetos son morfismos de la categoría original y los morfismos son cuadrados conmutantes . Entonces el producto tensorial de la categoría de flecha es el operador de composición original. Los adjuntos izquierdo y derecho son los operadores mínimo y máximo; específicamente, para un mapa monótono f uno tiene el adjunto derecho

${\displaystyle f^{r}(n)=\sup\{m\in \mathbb {N} \mid f(m)\leq n\}}$

y el adjunto izquierdo

${\displaystyle f^{l}(n)=\inf\{m\in \mathbb {N} \mid n\leq f(m)\}}$

Las unidades y unidades izquierda y derecha son:

${\displaystyle {\mbox{id}}\leq f\circ f^{l}\qquad {\mbox{(left unit)}}}$

${\displaystyle \,{\mbox{id}}\leq f^{r}\circ f\quad \ \ \ {\mbox{(right unit)}}}$

${\displaystyle f^{l}\circ f\leq {\mbox{id}}\qquad {\mbox{(left counit)}}}$

${\displaystyle f\circ f^{r}\leq {\mbox{id}}\qquad {\mbox{(right counit)}}}$

Una de las condiciones de tirón es entonces

${\displaystyle f=f\circ {\mbox{id}}\leq f\circ (f^{r}\circ f)=(f\circ f^{r})\circ f\leq {\mbox{id}}\circ f=f.}$

Los demás siguen de manera similar. La correspondencia se puede aclarar escribiendo la flecha en lugar de y utilizándola para la composición de funciones . ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \circ }$

Daga categoría compacta

Una daga de categoría monoidal simétrica que es compacta y cerrada es una daga de categoría compacta .

categoría rígida

Una categoría monoidal que no es simétrica, pero que por lo demás obedece a los axiomas de dualidad anteriores, se conoce como categoría rígida . Una categoría monoidal en la que cada objeto tiene un dual izquierdo (o derecho) a veces también se denomina categoría autónoma izquierda (o derecho) . Una categoría monoidal donde cada objeto tiene un dual izquierdo y uno derecho a veces se denomina categoría autónoma . Una categoría autónoma que también es simétrica es entonces una categoría cerrada compacta.

Referencias

Kelly, gerente general ; Laplaza, ML (1980). "Coherencia para categorías cerradas compactas". Revista de Álgebra Pura y Aplicada . 19 : 193–213. doi :10.1016/0022-4049(80)90101-2.