Daga categoría compacta

Categoría de daga especial que es compacta.

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , las categorías compactas de daga (o categorías cerradas compactas de daga ) aparecieron por primera vez en 1989 en el trabajo de Sergio Doplicher y John E. Roberts sobre la reconstrucción de grupos topológicos compactos a partir de su categoría de unidad continua de dimensión finita. representaciones (es decir, categorías tannakianas ). ^[1] También aparecieron en el trabajo de John Baez y James Dolan como un ejemplo de n -categorías semiestrictas k -tuply monoidales , que describen teorías topológicas generales de campos cuánticos , ^[2] para n = 1 y k = 3. Son una estructura fundamental en la mecánica cuántica categórica de Samson Abramsky y Bob Coecke . ^{[3] [4] [5]}

Descripción general

Las categorías compactas de Dagger se pueden utilizar para expresar y verificar algunos protocolos de información cuántica fundamentales, a saber: teletransportación , teletransportación de puerta lógica e intercambio de entrelazamientos , y nociones estándar como unitaridad, producto interno, traza, dualidad Choi-Jamiolkowsky , positividad completa , afirma Bell. y muchas otras nociones son capturadas por el lenguaje de las categorías compactas de daga. ^[3] Todo esto se deriva del teorema de completitud, que aparece a continuación. La mecánica cuántica categórica toma categorías compactas de daga como una estructura de fondo con respecto a la cual se pueden definir de manera abstracta otras nociones de la mecánica cuántica, como los observables cuánticos y su complementariedad. Esto constituye la base para un enfoque de alto nivel para el procesamiento de información cuántica .

Definicion formal

Una categoría de daga compacta es una categoría monoide simétrica de daga que también es compacta cerrada , junto con una relación para unir la estructura de daga a la estructura compacta. Específicamente, la daga se usa para conectar la unidad a la unidad, de modo que, para todos , el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Categoría Daga compacta

Para resumir todos estos puntos:

• Una categoría está cerrada si tiene un functor hom interno ; es decir, si el hom-conjunto de morfismos entre dos objetos de la categoría es un objeto de la categoría misma (en lugar de Set ).
• Una categoría es monoidal si está equipada con un bifunctor asociativo que es asociativo, natural y tiene identidades de izquierda y derecha que obedecen a ciertas condiciones de coherencia . ${\displaystyle \mathbf {C} \otimes \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$
• Una categoría monoidal es monoidal simétrica , si, para cada par A , B de objetos en C , hay un isomorfismo que es natural tanto en A como en B y, nuevamente, obedece a ciertas condiciones de coherencia (ver categoría monoidal simétrica para más detalles). ${\displaystyle \sigma _{A,B}:A\otimes B\simeq B\otimes A}$
• Una categoría monoidal es compacta cerrada , si cada objeto tiene un objeto dual . Las categorías con objetos duales están equipadas con dos morfismos, la unidad y la cuenta , que satisfacen ciertas condiciones de coherencia o de tracción. ${\displaystyle A\in \mathbf {C} }$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \eta _{A}:I\to A^{*}\otimes A}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}:A\otimes A^{*}\to I}$
• Una categoría es una categoría de daga si está equipada con un funtor involutivo que es la identidad de los objetos, pero asigna morfismos a sus adjuntos. ${\displaystyle \dagger \colon \mathbf {C} ^{op}\rightarrow \mathbf {C} }$
• Una categoría monoide es simétrica en daga si es una categoría en daga y es simétrica, y tiene condiciones de coherencia que hacen que los distintos functores sean naturales.

Una categoría compacta de daga es entonces una categoría que es cada una de las anteriores y, además, tiene una condición para relacionar la estructura de daga con la estructura compacta. Esto se hace relacionando la unidad con la unidad a través de la daga:

${\displaystyle \sigma _{A,A^{*}}\circ \varepsilon _{A}^{\dagger }=\eta _{A}}$

como se muestra en el diagrama de desplazamiento anterior. En la categoría FdHilb de espacios de Hilbert de dimensión finita, se puede entender que esta última condición define la daga (el conjugado hermitiano) como la transpuesta del conjugado complejo.

Ejemplos

Las siguientes categorías son daga compacta.

• La categoría FdHilb de espacios de Hilbert de dimensión finita y aplicaciones lineales . Los morfismos son operadores lineales entre espacios de Hilbert. El producto es el producto tensorial habitual , y la daga aquí es el conjugado hermitiano .
• La categoría Rel de Conjuntos y relaciones . El producto es, por supuesto, el producto cartesiano . La daga aquí es todo lo contrario .
• La categoría de módulos proyectivos generados finitamente sobre un anillo conmutativo . La daga aquí es solo la transposición de matriz .
• La categoría nCob de cobordismos . Aquí, los cobordismos n-dimensionales son los morfismos, la unión disjunta es el tensor y la inversión de los objetos (variedades cerradas) es la daga. Una teoría cuántica de campos topológica se puede definir como un functor de nCob a FdHilb . ^[6]
• La categoría Span ( C ) de spans para cualquier categoría C con límites finitos .

Los espacios de Hilbert de dimensión infinita no son compactos en forma de daga y se describen mediante categorías monoidales simétricas en forma de daga .

Teoremas estructurales

Selinger demostró que las categorías compactas de daga admiten un lenguaje esquemático estilo Joyal-Street ^[7] y demostró que las categorías compactas de daga son completas con respecto a los espacios de Hilbert de dimensión finita ^{[8] [9]} es decir, se cumple una declaración ecuacional en el lenguaje de categorías compactas de daga si y sólo si se puede derivar en la categoría concreta de espacios de Hilbert de dimensión finita y aplicaciones lineales. No existe una integridad análoga para Rel o nCob .

Este resultado de completitud implica que varios teoremas de los espacios de Hilbert se extienden a esta categoría. Por ejemplo, el teorema de la no clonación implica que no existe un morfismo de clonación universal. ^[10] La integridad también implica características mucho más mundanas: a las categorías compactas de daga se les puede dar una base de la misma manera que un espacio de Hilbert puede tener una base. Los operadores se pueden descomponer en la base; los operadores pueden tener vectores propios , etc. Esto se revisa en la siguiente sección.

Base

El teorema de completitud implica que las nociones básicas de los espacios de Hilbert se trasladan a cualquier categoría compacta de daga. Sin embargo, el lenguaje típico empleado cambia. La noción de base se da en términos de coalgebra . Dado un objeto A de una categoría compacta de daga, una base es un objeto comonoide . Las dos operaciones son una copia o comultiplicación δ: A → A ⊗ Un morfismo cocommutativo y coasociativo, y una operación de eliminación o morfismo unitario ε: A → I . En conjunto, estos obedecen a cinco axiomas: ^[11] ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$

Comultiplicatividad:

${\displaystyle (1_{A}\otimes \varepsilon )\circ \delta =1_{A}=(\varepsilon \otimes 1_{A})\circ \delta }$

Coasociatividad:

${\displaystyle (1_{A}\otimes \delta )\circ \delta =(\delta \otimes 1_{A})\circ \delta }$

Cocomutatividad:

${\displaystyle \sigma _{A,A}\circ \delta =\delta }$

Isometría:

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ \delta =1_{A}}$

Ley de Frobenius :

${\displaystyle (\delta ^{\dagger }\otimes 1_{A})\circ (1_{A}\otimes \delta )=\delta \circ \delta ^{\dagger }}$

Para ver que estas relaciones definen una base de un espacio vectorial en el sentido tradicional, escriba la comultiplicación y la unidad usando la notación bra-ket y entendiendo que ahora son operadores lineales que actúan sobre vectores en un espacio de Hilbert H : ${\displaystyle |j\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta :H&\to H\otimes H\\|j\rangle &\mapsto |j\rangle \otimes |j\rangle =|jj\rangle \\\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon :H&\to \mathbb {C} \\|j\rangle &\mapsto 1\\\end{aligned}}}$

Los únicos vectores que pueden satisfacer los cinco axiomas anteriores deben ser ortogonales entre sí; la unidad luego especifica de forma única la base. Los nombres sugerentes de copiar y eliminar para los operadores de comultiplicación y cuenta provienen de la idea de que el teorema de no clonación y el teorema de no eliminación establecen que los únicos vectores que es posible copiar o eliminar son los vectores de base ortogonal. ${\displaystyle |j\rangle }$

Resultados generales

Dada la definición anterior de base, se pueden establecer varios resultados para espacios de Hilbert para categorías de daga compacta. Enumeramos algunos de estos a continuación, tomados de ^[11] a menos que se indique lo contrario.

• También se puede entender que una base corresponde a un observable , en el sentido de que un observable dado factoriza sobre vectores de base (ortogonales). Es decir, un observable está representado por un objeto A junto con los dos morfismos que definen una base: . ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$
• Un estado propio de lo observable es cualquier objeto para el cual ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \delta \circ \psi =\psi \otimes \psi }$

Los estados propios son ortogonales entre sí. ^{[ se necesita aclaración ]}

• Un objeto es complementario del observable si ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ ({\overline {\psi }}\otimes \psi )=\varepsilon ^{\dagger }}$

(En mecánica cuántica, se dice que un vector de estado es complementario a un observable si cualquier resultado de medición es equiprobable. es decir, un estado propio de espín de S _x es equiprobable cuando se mide en la base Sz , o los estados propios de momento son equiprobables cuando se miden en la base _Sz . base de posición.) ${\displaystyle \psi }$

• Dos observables y son complementarios si ${\displaystyle (A,\delta _{X},\varepsilon _{X})}$ ${\displaystyle (A,\delta _{Z},\varepsilon _{Z})}$

${\displaystyle \delta _{Z}^{\dagger }\circ \delta _{X}=\varepsilon _{Z}\circ \varepsilon _{X}^{\dagger }}$

• Los objetos complementarios generan transformaciones unitarias . Eso es,

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ (\psi \otimes 1_{A})}$

es unitario si y sólo si es complementario del observable ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$

Referencias

1. Doplicher, S.; Roberts, J. (1989). "Una nueva teoría de la dualidad para grupos compactos". Inventar. Matemáticas . 98 : 157–218. Código Bib : 1989 InMat..98..157D. doi :10.1007/BF01388849. S2CID  120280418.
2. Báez, JC; Dolan, J. (1995). "Álgebra de dimensiones superiores y teoría de campos cuánticos topológicos". J. Matemáticas. Física . 36 (11): 6073–6105. arXiv : q-alg/9503002 . Código bibliográfico : 1995JMP....36.6073B. CiteSeerX 10.1.1.269.4681 . doi : 10.1063/1.531236. S2CID  14908618. 
3. Abramsky, S .; Coecke, B. (2004). "Una semántica categórica de los protocolos cuánticos". Actas de la 19ª conferencia IEEE sobre lógica en informática (LiCS'04) . IEEE. págs. 415–425. arXiv : quant-ph/0402130 . CiteSeerX 10.1.1.330.7289 . doi :10.1109/LICS.2004.1319636. ISBN  0-7695-2192-4. S2CID  1980118.
4. Abramsky, S.; Coecke, B. (2009). "Mecánica cuántica categórica". En Engesser, K.; Gabbay, DM; Lehmann, D. (eds.). Manual de lógica cuántica y estructuras cuánticas . Elsevier. págs. 261–323. arXiv : 0808.1023 . ISBN 978-0-08-093166-1.
5. Abramsky y Coecke utilizaron el término categorías cerradas fuertemente compactas, ya que una categoría compacta de daga es una categoría cerrada compacta aumentada con un endofunctor monoide involutivo covariante.
6. Atiyah, M. (1989). "Teorías topológicas de campos cuánticos" (PDF) . Inst. Altos estudios de ciencia. Publ. Matemáticas . 68 : 175–186. doi :10.1007/BF02698547. S2CID  121647908.
7. Selinger, Peter (2007). "Dagger categorías cerradas compactas y mapas completamente positivos: (Resumen ampliado)". Apuntes Electrónicos en Informática Teórica . 170 (Actas del tercer taller internacional sobre lenguajes de programación cuántica (QPL 2005)): 139–163. CiteSeerX 10.1.1.84.8476 . doi :10.1016/j.entcs.2006.12.018. 
8. Selinger, P. (2011). "Los espacios de Hilbert de dimensión finita están completos para categorías cerradas compactas de daga". Apuntes Electrónicos en Informática Teórica . 270 (Actas del quinto taller internacional conjunto sobre física y lógica cuánticas y el cuarto taller sobre desarrollos en modelos computacionales (QPL/DCM 2008)): 113–9. arXiv : 1207.6972 . CiteSeerX 10.1.1.749.4436 . doi :10.1016/j.entcs.2011.01.010. 
9. Hasegawa, M.; Hofmann, M.; Plotkin, G. (2008). "Los espacios vectoriales de dimensiones finitas están completos para categorías monoidales simétricas trazadas". En Avron, A.; Dershowitz, N.; Rabinovich, A. (eds.). Pilares de la Informática . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 4800. Saltador. págs. 367–385. CiteSeerX 10.1.1.443.3495 . doi :10.1007/978-3-540-78127-1_20. ISBN  978-3-540-78127-1. S2CID  15045491.
10. Abramsky, S. (2010). "No clonación en mecánica cuántica categórica". En Mackie, I.; Gay, S. (eds.). Técnicas semánticas para la computación cuántica . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 1–28. ISBN 978-0-521-51374-6.
11. Coecke, Bob (2009). "Pinturalismo cuántico". Física Contemporánea . 51 : 59–83. arXiv : 0908.1787 . doi :10.1080/00107510903257624. S2CID  752173.

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