Objeto dual

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un objeto dual es un análogo de un espacio vectorial dual del álgebra lineal para objetos en categorías monoidales arbitrarias . Es solo una generalización parcial, basada en las propiedades categóricas de dualidad para espacios vectoriales de dimensión finita . Un objeto que admite un dual se llama objeto dualizable . En este formalismo, los espacios vectoriales de dimensión infinita no son dualizables, ya que el espacio vectorial dual V ^∗ no satisface los axiomas. ^[1] A menudo, un objeto es dualizable solo cuando satisface alguna propiedad de finitud o compacidad . ^[2]

Una categoría en la que cada objeto tiene un dual se denomina autónoma o rígida . La categoría de espacios vectoriales de dimensión finita con el producto tensorial estándar es rígida, mientras que la categoría de todos los espacios vectoriales no lo es.

Motivación

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre algún cuerpo K . La noción estándar de un espacio vectorial dual V ^∗ tiene la siguiente propiedad: para cualesquiera K -espacios vectoriales U y W existe una adjunción Hom _K ( U ⊗ V , W ) = Hom _K ( U , V ^∗ ⊗ W ), y esto caracteriza a V ^∗ hasta un único isomorfismo . Esta expresión tiene sentido en cualquier categoría con un reemplazo apropiado para el producto tensorial de espacios vectoriales. Para cualquier categoría monoidal ( C , ⊗ ) se puede intentar definir un dual de un objeto V como un objeto V ^∗ ∈ C con un isomorfismo natural de bifuntores

Hom _C ((–) ₁ ⊗ V , (–) ₂ ) → Hom _C ((–) ₁ , V ^∗ ⊗ (–) ₂ )

Para que una noción de dualidad funcione bien, este mapa no solo debería ser natural en el sentido de la teoría de categorías, sino también respetar la estructura monoidal de alguna manera. ^[1] Por lo tanto, una definición real de un objeto dual es más complicada.

En una categoría monoidal cerrada C , es decir, una categoría monoidal con un funtor Hom interno , un enfoque alternativo es simular la definición estándar de un espacio vectorial dual como un espacio de funcionales . Para un objeto V ∈ C definamos V ^∗ como , donde 1 _C es la identidad monoidal. En algunos casos, este objeto será un objeto dual para V en un sentido dado anteriormente, pero en general conduce a una teoría diferente. ^[3] ${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}_{C}(V,\mathbb {1} _{C})}$

Definición

Consideremos un objeto de una categoría monoidal . El objeto se denomina dual izquierdo si existen dos morfismos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \eta :I\to X\otimes X^{*}}$, llamada coevaluación , y , llamada evaluación , ${\displaystyle \varepsilon :X^{*}\otimes X\to I}$

de tal manera que los dos diagramas siguientes conmutan:

El objeto se denomina dual derecho de . Esta definición se debe a Dold & Puppe (1980). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Los duales izquierdos son canónicamente isomorfos cuando existen, al igual que los duales derechos. Cuando C es trenzado (o simétrico ), todo dual izquierdo es también un dual derecho, y viceversa.

Si consideramos una categoría monoidal como una bicategoría con un objeto, un par dual es exactamente un par adjunto .

Ejemplos

• Considérese una categoría monoidal (Vect _K , ⊗ _K ) de espacios vectoriales sobre un cuerpo K con el producto tensorial estándar. Un espacio V es dualizable si y solo si es de dimensión finita, y en este caso el objeto dual V ^∗ coincide con la noción estándar de espacio vectorial dual .
• Considérese una categoría monoidal (Mod _R , ⊗ _R ) de módulos sobre un anillo conmutativo R con el producto tensorial estándar . Un módulo M es dualizable si y solo si es un módulo proyectivo finitamente generado . En ese caso el objeto dual M ^∗ también está dado por el módulo de homomorfismos Hom _R ( M , R ).
• Considérese una categoría de homotopía de espectros puntiagudos Ho(Sp) con el producto de aplastamiento como la estructura monoidal. Si M es un retracto de vecindad compacta en (por ejemplo, una variedad compacta suave ), entonces el espectro puntiagudo correspondiente Σ ^∞ ( M ⁺ ) es dualizable. Esto es una consecuencia de la dualidad de Spanier-Whitehead , que implica en particular la dualidad de Poincaré para variedades compactas. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• La categoría de endofuntores de una categoría es una categoría monoidal bajo la composición de funtores . Un funtor es un dual izquierdo de un funtor si y solo si es adjunto izquierdo a . ^[4] ${\displaystyle \mathrm {End} (\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Categorías con duales

Una categoría monoidal en la que cada objeto tiene un dual izquierdo (respectivamente derecho) se denomina a veces categoría autónoma izquierda (respectivamente derecha) . Los geómetras algebraicos la denominan categoría rígida izquierda (respectivamente derecha) . Una categoría monoidal en la que cada objeto tiene un dual izquierdo y uno derecho se denomina categoría autónoma . Una categoría autónoma que también es simétrica se denomina categoría cerrada compacta .

Rastros

Todo endomorfismo f de un objeto dualizable admite una traza , que es un cierto endomorfismo de la unidad monoidal de C . Esta noción incluye, como casos muy especiales, la traza en álgebra lineal y la característica de Euler de un complejo de cadenas .

Véase también

• Objeto dualizante

Referencias

1. Ponto, Kate; Shulman, Michael (2014). "Trazas en categorías monoidales simétricas". Exposiciones Mathematicae . 32 (3): 248–273. arXiv : 1107.6032 . Código Bib : 2011arXiv1107.6032P. doi : 10.1016/j.exmath.2013.12.003 .
2. Becker, James C.; Gottlieb, Daniel Henry (1999). "Una historia de la dualidad en la topología algebraica" (PDF) . En James, IM (ed.). Historia de la topología . Holanda Septentrional. págs. 725–745. ISBN. 978-0-444-82375-5.
3. objeto dual en una categoría cerrada en el laboratorio n
4. Véase, por ejemplo, Nikshych, D.; Etingof, PI ; Gelaki, S.; Ostrik, V. (2016). "Ejercicio 2.10.4". Categorías tensoriales. Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 205. Sociedad matemática estadounidense. pág. 41. ISBN. 978-1-4704-3441-0.

• Dold, Albrecht ; Puppe, Dieter (1980), "Dualidad, traza y transferencia", Actas de la Conferencia Internacional sobre Topología Geométrica (Varsovia, 1978) , PWN-Editorial Científica Polaca, págs. 81–102, ISBN 9788301017873, MR  0656721, OCLC  681088710
• Freyd, Peter ; Yetter, David (1989). "Categorías cerradas compactas trenzadas con aplicaciones a la topología de baja dimensión". Avances en Matemáticas . 77 (2): 156–182. doi : 10.1016/0001-8708(89)90018-2 .
• Joyal, André ; Street, Ross . "La geometría del cálculo tensorial II" (PDF) . Synthese Library . 259 : 29–68. CiteSeerX  10.1.1.532.1533 .