categoría rígida

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría rígida es una categoría monoidal donde todo objeto es rígido, es decir, tiene un dual X ^* (el Hom interno [ X , 1 ]) y un morfismo 1 → X ⊗ X ^* que satisface condiciones naturales. La categoría se llama rígida derecha o rígida izquierda según tenga duales derechas o duales izquierdas. Fueron definidas por primera vez (siguiendo a Alexander Grothendieck ) por Neantro Saavedra Rivano en su tesis sobre las categorías tannakianas . ^[1]

Definición

Hay al menos dos definiciones equivalentes de rigidez.

• Un objeto X de categoría monoidal se llama rígido a la izquierda si hay un objeto Y y morfismos y tal que ambas composiciones ${\displaystyle \eta _{X}:\mathbf {1} \to X\otimes Y}$ ${\displaystyle \epsilon _{X}:Y\otimes X\to \mathbf {1} }$

${\displaystyle X~{\xrightarrow {\eta _{X}\otimes \mathrm {id} _{X}}}~(X\otimes Y)\otimes X~{\xrightarrow {\alpha _{X,Y,X}^{-1}}}~X\otimes (Y\otimes X)~{\xrightarrow {\mathrm {id} _{X}\otimes \epsilon _{X}}}~X}$

${\displaystyle Y~{\xrightarrow {\mathrm {id} _{Y}\otimes \eta _{X}}}~Y\otimes (X\otimes Y)~{\xrightarrow {~\alpha _{X,Y,X}~}}~(Y\otimes X)\otimes Y~{\xrightarrow {\epsilon _{X}\otimes \mathrm {id} _{Y}}}~Y}$

son identidades. Un objeto rígido recto se define de manera similar.

Un inverso es un objeto X ⁻¹ tal que tanto X ⊗ X ⁻¹ como X ⁻¹ ⊗ X son isomorfos a 1 , el objeto identidad de la categoría monoidal. Si un objeto X tiene una inversa X ⁻¹ izquierda (respectivamente derecha) con respecto al producto tensor, entonces es rígido izquierda (respectivamente derecha) y X ^* = X ⁻¹ .

La operación de tomar duales da un funtor contravariante en una categoría rígida.

Usos

Una aplicación importante de la rigidez es la definición de la traza de un endomorfismo de un objeto rígido. La traza se puede definir para cualquier categoría fundamental , es decir, una categoría rígida tal que ( ) ^** , el funtor de tomar el dual repetido dos veces, sea isomorfo al funtor de identidad. Entonces, para cualquier objeto rígido derecho X y cualquier otro objeto Y , podemos definir el isomorfismo

${\displaystyle \phi _{X,Y}:\left\{{\begin{array}{rcl}\mathrm {Hom} (\mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)&\longrightarrow &\mathrm {Hom} (X,Y)\\f&\longmapsto &(\epsilon _{X}\otimes id_{Y})\circ (id_{X}\otimes f)\end{array}}\right.}$

y su isomorfismo recíproco

${\displaystyle \psi _{X,Y}:\left\{{\begin{array}{rcl}\mathrm {Hom} (X,Y)&\longrightarrow &\mathrm {Hom} (\mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)\\g&\longmapsto &(id_{X^{*}}\otimes g)\circ \eta _{X}\end{array}}\right.}$.

Entonces, para cualquier endomorfismo , la traza de f se define como la composición: ${\displaystyle f:X\to X}$

${\displaystyle \mathop {\mathrm {tr} } f:\mathbf {1} {\xrightarrow {\psi _{X,X}(f)}}X^{*}\otimes X{\xrightarrow {\gamma _{X,X}}}X\otimes X^{*}{\xrightarrow {\epsilon _{X}}}\mathbf {1} ,}$

Podemos continuar más y definir la dimensión de un objeto rígido como:

${\displaystyle \dim X:=\mathop {\mathrm {tr} } \ \mathrm {id} _{X}}$.

La rigidez también es importante debido a su relación con el Hom interno. Si X es un objeto rígido izquierdo, entonces cada Hom interno de la forma [ X , Z ] existe y es isomorfo a Z ⊗ Y . En particular, en una categoría rígida, existen todos los Hom internos.

Terminología alternativa

Una categoría monoidal en la que cada objeto tiene un dual izquierdo (respectivamente derecho) también se denomina a veces categoría autónoma izquierda (respectivamente derecha) . Una categoría monoidal donde cada objeto tiene un dual izquierdo y uno derecho a veces se denomina categoría autónoma . Una categoría autónoma que además es simétrica se denomina categoría cerrada compacta .

Discusión

Una categoría monoidal es una categoría con un producto tensorial, precisamente el tipo de categoría para la que la rigidez tiene sentido.

La categoría de motivos puros se forma endureciendo la categoría de motivos puros efectivos.

Notas

1. Rivano, N. Saavedra (1972). Categorías Tannakiennes. Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 265. Saltador. doi :10.1007/BFb0059108. ISBN 978-3-540-37477-0.

Referencias

• Davydov, AA (1998). "Categorías y funtores monoidales". Revista de Ciencias Matemáticas . 88 (4): 458–472. doi :10.1007/BF02365309.
• Categoría monoidal rígida en el n Lab