Objeto dual

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un objeto dual es un análogo de un espacio vectorial dual del álgebra lineal para objetos en categorías monoidales arbitrarias . Es sólo una generalización parcial, basada en las propiedades categóricas de la dualidad para espacios vectoriales de dimensión finita . Un objeto que admite un dual se llama objeto dualizable . En este formalismo, los espacios vectoriales de dimensión infinita no son dualizables, ya que el espacio vectorial dual V ^∗ no satisface los axiomas. ^[1] A menudo, un objeto es dualizable sólo cuando satisface alguna propiedad de finitud o compacidad . ^[2]

Una categoría en la que cada objeto tiene un dual se llama autónoma o rígida . La categoría de espacios vectoriales de dimensión finita con el producto tensorial estándar es rígida, mientras que la categoría de todos los espacios vectoriales no lo es.

Motivación

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre algún campo K. La noción estándar de un espacio vectorial dual V ^∗ tiene la siguiente propiedad: para cualquier K -espacio vectorial U y W hay una conjunción Hom _K ( U ⊗ V , W ) = Hom _K ( U , V ^∗ ⊗ W ), y esto caracteriza a V ^∗ hasta un isomorfismo único . Esta expresión tiene sentido en cualquier categoría con un reemplazo apropiado para el producto tensorial de espacios vectoriales. Para cualquier categoría monoidal ( C , ⊗ ), se puede intentar definir un dual de un objeto V como un objeto V ^∗ ∈ C con un isomorfismo natural de bifunctores.

Hom _C ((–) ₁ ⊗ V , (–) ₂ ) → Hom _C ((–) ₁ , V ^∗ ⊗ (–) ₂ )

Para una noción de dualidad bien comportada, este mapa no sólo debería ser natural en el sentido de la teoría de categorías, sino también respetar la estructura monoidal de alguna manera. ^[1] Por tanto, una definición real de un objeto dual es más complicada.

En una categoría monoidal cerrada C , es decir, una categoría monoidal con un functor Hom interno , un enfoque alternativo es simular la definición estándar de un espacio vectorial dual como un espacio de funcionales . Para un objeto V ∈ C , defina V ^∗ como , donde 1 _C es la identidad monoidal. En algunos casos, este objeto será un objeto dual para V en el sentido anterior, pero en general conduce a una teoría diferente. ^[3] ${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}_{C}(V,\mathbb {1} _{C})}$

Definición

Considere un objeto en una categoría monoidal . El objeto se llama dual izquierdo si existen dos morfismos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \eta :I\to X\otimes X^{*}}$, llamada coevaluación , y , llamada evaluación , ${\displaystyle \varepsilon :X^{*}\otimes X\to I}$

tal que los dos diagramas siguientes conmutan:

El objeto se llama dual derecho de . Esta definición se debe a Dold & Puppe (1980). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Los duales izquierdos son canónicamente isomórficos cuando existen, al igual que los duales derechos. Cuando C es trenzado (o simétrico ), cada dual izquierdo es también un dual derecho, y viceversa.

Si consideramos una categoría monoidea como una bicategoría con un objeto, un par dual es exactamente un par adjunto .

Ejemplos

• Considere una categoría monoidal (Vect _K , ⊗ _K ) de espacios vectoriales sobre un campo K con el producto tensorial estándar. Un espacio V es dualizable si y sólo si es de dimensión finita, y en este caso el objeto dual V ^∗ coincide con la noción estándar de espacio vectorial dual .
• Considere una categoría monoidal (Mod _R , ⊗ _R ) de módulos sobre un anillo conmutativo R con el producto tensorial estándar . Un módulo M es dualizable si y sólo si es un módulo proyectivo generado finitamente . En ese caso el objeto dual M ^∗ también viene dado por el módulo de homomorfismos Hom _R ( M , R ).
• Considere una categoría de homotopía de espectros puntiagudos Ho (Sp) con el producto aplastante como estructura monoide. Si M es una retracción vecinal compacta (por ejemplo, una variedad compacta suave ), entonces el espectro puntiagudo correspondiente Σ ^∞ ( M ⁺ ) es dualizable. Esto es una consecuencia de la dualidad Spanier-Whitehead , que implica en particular la dualidad de Poincaré para variedades compactas. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• La categoría de endofunctores de una categoría es una categoría monoidal bajo composición de functores . Un funtor es un dual izquierdo de un funtor si y solo si se deja junto a . ^[4] ${\displaystyle \mathrm {End} (\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Categorías con duales

Una categoría monoidal donde cada objeto tiene un dual izquierdo (respectivamente derecho) a veces se denomina categoría autónoma izquierda (respectivamente derecha) . Los geómetras algebraicos lo llaman categoría rígida izquierda (respectivamente derecha) . Una categoría monoidal donde cada objeto tiene un dual izquierdo y uno derecho se llama categoría autónoma . Una categoría autónoma que además es simétrica se denomina categoría cerrada compacta .

Rastros

Cualquier endomorfismo f de un objeto dualizable admite una traza , que es un cierto endomorfismo de la unidad monoidal de C. Esta noción incluye, como casos muy especiales, la traza en álgebra lineal y la característica de Euler de un complejo de cadenas .

Ver también

• Objeto de dualización

Referencias

1. Ponto, Kate; Shulman, Michael (2014). "Trazas en categorías monoidales simétricas". Exposiciones Mathematicae . 32 (3): 248–273. arXiv : 1107.6032 . Código Bib : 2011arXiv1107.6032P. doi : 10.1016/j.exmath.2013.12.003 .
2. Becker, James C.; Gottlieb, Daniel Henry (1999). "Una historia de la dualidad en topología algebraica" (PDF) . En James, IM (ed.). Historia de la topología . Holanda del Norte. págs. 725–745. ISBN 978-0-444-82375-5.
3. objeto dual en una categoría cerrada en el n Lab
4. Véase, por ejemplo, Nikshych, D.; Etingof, PI ; Gelaki, S.; Ostrik, V. (2016). "Ejercicio 2.10.4". Categorías tensoriales. Encuestas y monografías matemáticas. vol. 205. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 41.ISBN​ 978-1-4704-3441-0.

• Döld, Albrecht ; Puppe, Dieter (1980), "Dualidad, traza y transferencia", Actas de la Conferencia Internacional sobre Topología Geométrica (Varsovia, 1978) , PWN-Polish Scientific Publishers, págs. 81-102, ISBN 9788301017873, SEÑOR  0656721, OCLC  681088710
• Fredd, Pedro ; Aún así, David (1989). "Categorías cerradas compactas trenzadas con aplicaciones a topología de baja dimensión". Avances en Matemáticas . 77 (2): 156–182. doi : 10.1016/0001-8708(89)90018-2 .
• Joyal, André ; Calle, Ross . "La geometría del cálculo tensorial II" (PDF) . Biblioteca de síntesis . 259 : 29–68. CiteSeerX  10.1.1.532.1533 .