En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría cerrada es un tipo especial de categoría .
En una categoría localmente pequeña , el hom externo ( x , y ) asigna un par de objetos a un conjunto de morfismos . Entonces, en la categoría de conjuntos , este es un objeto de la categoría misma. En la misma línea, en una categoría cerrada, el (objeto de) morfismos de un objeto a otro puede considerarse dentro de la categoría. Este es el hom interno [ x , y ].
Cada categoría cerrada tiene un funtor olvidadizo para la categoría de conjuntos, que en particular lleva el hom interno al hom externo.
Una categoría cerrada se puede definir como una categoría con el llamado funtor Hom interno.
con flechas izquierdas de Yoneda
natural en y dinatural en , y un objeto fijo de con un isomorfismo natural
y una transformación dinatural
todos ellos satisfacen ciertas condiciones de coherencia.
![{\displaystyle \left[-\ -\right]:{\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14d6760aed8289f5403c6d92f3572e3983fe394)
![{\displaystyle L:\left[B\ C\right]\to \left[\left[A\ B\right]\left[A\ C\right]\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e917b70cc236fd807788d1b9f624318a4791a64)
![{\displaystyle i_{A}:A\cong \left[I\ A\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b3873f8c3fa732d6c1b0a5bca2e187d24bde83)
![{\displaystyle j_{A}:I\to \left[A\ A\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48727e6e752f7194747a1a533c0678efc4671071)