El producto tensorial ordinario convierte los espacios vectoriales , los grupos abelianos , los módulos R o las álgebras R en categorías monoidales. Las categorías monoidales pueden verse como una generalización de estos y otros ejemplos. Cada categoría monoide ( pequeña ) también puede verse como una " categorización " de un monoide subyacente , es decir, el monoide cuyos elementos son las clases de isomorfismo de los objetos de la categoría y cuya operación binaria está dada por el producto tensorial de la categoría.
Una aplicación bastante diferente, para la cual las categorías monoidales pueden considerarse una abstracción, es un sistema de tipos de datos cerrados bajo un constructor de tipos que toma dos tipos y construye un tipo agregado. Los tipos sirven como objetos y ⊗ es el constructor agregado. La asociatividad hasta el isomorfismo es entonces una forma de expresar que diferentes formas de agregar los mismos datos (como y ) almacenan la misma información aunque los valores agregados no tengan por qué ser los mismos. El tipo agregado puede ser análogo a la operación de suma (tipo suma) o de multiplicación (tipo producto). Para el tipo producto, el objeto de identidad es la unidad , por lo que solo hay un habitante del tipo, y es por eso que un producto con él siempre es isomorfo al otro operando. Para el tipo suma, el objeto de identidad es el tipo vacío , que no almacena información y es imposible dirigirse a un habitante. El concepto de categoría monoidal no supone que los valores de tales tipos agregados puedan separarse; por el contrario, proporciona un marco que unifica la teoría de la información clásica y la cuántica . [1]
En teoría de categorías , las categorías monoidales se pueden utilizar para definir el concepto de objeto monoide y una acción asociada sobre los objetos de la categoría. También se utilizan en la definición de una categoría enriquecida .
es asociativo: hay un isomorfismo natural (en cada uno de los tres argumentos , , ) , llamado asociador , con componentes ,
tiene como identidad izquierda y derecha: hay dos isomorfismos naturales y , llamados unitores izquierdo y derecho respectivamente , con componentes y .
Tenga en cuenta que una buena forma de recordar cómo actuar es mediante la aliteración; Lambda , cancela la identidad de la izquierda , mientras que Rho , cancela la identidad de la derecha .
Las condiciones de coherencia para estas transformaciones naturales son:
Este es uno de los diagramas utilizados en la definición de una categoría monoidal. Se ocupa del caso cuando hay una instancia de identidad entre dos objetos.
viaja.
Una categoría monoidal estricta es aquella para la cual los isomorfismos naturales α , λ y ρ son identidades. Cada categoría monoidal es monoidalmente equivalente a una categoría monoidal estricta.
Ejemplos
Cualquier categoría con productos finitos puede considerarse monoidal, siendo el producto el producto monoidal y el objeto terminal la unidad. Esta categoría a veces se denomina categoría monoidal cartesiana . Por ejemplo:
Conjunto , la categoría de conjuntos con el producto cartesiano, cualquier conjunto particular de un elemento que sirve como unidad.
Cat , la categoría de categorías pequeñas con la categoría de producto , donde la categoría con un objeto y solo su mapa de identidad es la unidad.
Dualmente, cualquier categoría con coproductos finitos es monoidal con el coproducto como producto monoidal y el objeto inicial como unidad. Esta categoría monoidal se llama monoidal cocartesiana.
La categoría de todos los endofunctores en una categoría C es una categoría monoidal estricta con la composición de funtores como producto y el funtor de identidad como unidad.
Al igual que para cualquier categoría E , la subcategoría completa abarcada por cualquier objeto dado es un monoide, es el caso que para cualquier E de 2 categorías y cualquier objeto C en Ob( E ), las 2 subcategorías completas de E abarcadas por { C } es una categoría monoide. En el caso E = Cat , obtenemos el ejemplo de endofunctores anterior.
Cualquier monoide ordinario es una pequeña categoría monoide con conjunto de objetos , solo identidades para morfismos , como producto tensor y como su objeto de identidad. Por el contrario, el conjunto de clases de isomorfismo (si tal cosa tiene sentido) de una categoría monoide es un monoide frente al producto tensorial.
Cualquier monoide conmutativo se puede realizar como una categoría monoide con un solo objeto. Recuerde que una categoría con un solo objeto es lo mismo que un monoide ordinario. Según un argumento de Eckmann-Hilton , agregar otro producto monoidal requiere que el producto sea conmutativo.
Propiedades y nociones asociadas
De las tres condiciones de coherencia que definen se deduce que una gran clase de diagramas (es decir, diagramas cuyos morfismos se construyen utilizando identidades y productos tensoriales) conmutan: este es el " teorema de coherencia " de Mac Lane . A veces se afirma erróneamente que todos estos diagramas conmutan.
Existe una noción general de objeto monoide en una categoría monoide, que generaliza la noción ordinaria de monoide del álgebra abstracta . Los monoides ordinarios son precisamente los objetos monoides en la categoría monoide cartesiana Conjunto . Además, cualquier categoría monoidal estricta (pequeña) puede verse como un objeto monoide en la categoría de categorías Cat (equipada con la estructura monoide inducida por el producto cartesiano).
Cada categoría monoidal puede verse como la categoría B (∗, ∗) de una bicategoría B con un solo objeto, denotado ∗.
El concepto de una categoría C enriquecida en una categoría monoidal M reemplaza la noción de un conjunto de morfismos entre pares de objetos en C con la noción de un objeto M de morfismos entre cada dos objetos en C.
Categoría monoidal estricta gratuita
Para cada categoría C , la categoría monoidal estricta libre Σ( C ) se puede construir de la siguiente manera:
sus objetos son listas (secuencias finitas) A 1 , ..., An de objetos de C ;
hay flechas entre dos objetos A 1 , ..., A m y B 1 , ..., B n solo si m = n , y luego las flechas son listas (secuencias finitas) de flechas f 1 : A 1 → B 1 , ..., f n : A n → B n de C ;
el producto tensorial de dos objetos A 1 , ..., A n y B 1 , ..., B m es la concatenación A 1 , ..., A n , B 1 , ..., B m de los dos listas y, de manera similar, el producto tensorial de dos morfismos viene dado por la concatenación de listas. El objeto de identidad es la lista vacía.
Esta operación Σ que asigna la categoría C a Σ ( C ) se puede extender a una 2 mónada estricta en Cat .
Especializaciones
Si, en una categoría monoidal, y son naturalmente isomórficos de manera compatible con las condiciones de coherencia, hablamos de una categoría monoidea trenzada . Si, además, este isomorfismo natural es su propio inverso, tenemos una categoría monoidal simétrica .
Un monoide preordenado es una categoría monoide en la que por cada dos objetos existe como máximo un morfismo en C. En el contexto de pedidos anticipados, a veces se anota un morfismo . Las propiedades de reflexividad y transitividad de un orden, definido en el sentido tradicional, se incorporan a la estructura categórica mediante el morfismo de identidad y la fórmula de composición en C , respectivamente. Si y , entonces los objetos son isomórficos, lo cual se anota .
Introducir una estructura monoidea en el preorden C implica construir
un objeto , llamado unidad monoidal , y
un funtor , denotado por " ", llamado multiplicación monoidal .
y debe ser unital y asociativo, hasta el isomorfismo, es decir:
y .
Como · es un funtor,
si y entonces .
Las otras condiciones de coherencia de las categorías monoidales se cumplen a través de la estructura de preorden, ya que cada diagrama conmuta en un preorden.
^ Báez, Juan ; Quédate, Mike (2011). "Física, topología, lógica y computación: una Piedra Rosetta" (PDF) . En Coecke, Bob (ed.). Nuevas estructuras para la física . Apuntes de conferencias de física. vol. 813. Saltador. págs. 95-172. arXiv : 0903.0340 . CiteSeerX 10.1.1.296.1044 . doi :10.1007/978-3-642-12821-9_2. ISBN 978-3-642-12821-9. ISSN 0075-8450. S2CID 115169297. Zbl 1218.81008.
^ ab Fong, Brendan; Spivak, David I. (12 de octubre de 2018). "Siete bocetos de composicionalidad: una invitación a la teoría de categorías aplicada". arXiv : 1803.05316 [matemáticas.CT].
Joyal, André; Calle, Ross (1988). «Diagramas planos y álgebra tensorial» (PDF) .
Kelly, G. Max (1964). "Sobre las condiciones de MacLane para la coherencia de asociatividades naturales, conmutatividades, etc.". Revista de Álgebra . 1 (4): 397–402. doi : 10.1016/0021-8693(64)90018-3 .
Kelly, GM (1982). Conceptos básicos de la teoría de categorías enriquecida (PDF) . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 64. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-28702-9. OCLC 1015056596. Zbl 0478.18005.
Mac Lane, Saunders (1963). "Asociatividad natural y conmutatividad". Estudios de la Universidad de Rice . 49 (4): 28–46. CiteSeerX 10.1.1.953.2731 . hdl : 1911/62865.
Perrone, Paolo (2024). "Capítulo 6. Categorías monoidales". Teoría de categorías iniciales . Científico mundial. doi :10.1142/9789811286018_0005. ISBN 978-981-12-8600-1.