producto aplastante

En topología , una rama de las matemáticas , el producto aplastante de dos espacios puntiagudos (es decir, espacios topológicos con puntos base distinguidos) ( X, x ₀ ) e ( Y , y ₀ ) es el cociente del espacio producto X × Y bajo las identificaciones ( x , y ₀ ) ~ ( x 0 _, y ) para todo x en X e y en Y. El producto smash es en sí mismo un espacio puntiagudo, siendo el punto base la clase de equivalencia de ( x ₀ , y ₀ ). El producto aplastado generalmente se denota como X ∧ Y o X ⨳ Y. El producto smash depende de la elección de los puntos base (a menos que tanto X como Y sean homogéneos ).

Se puede pensar que X e Y están dentro de X × Y como los subespacios X × { y ₀ } y { x ₀ } × Y . Estos subespacios se cruzan en un solo punto: ( x ₀ , y ₀ ), el punto base de X × Y . Entonces la unión de estos subespacios se puede identificar con la suma de cuña . En particular, { x ₀ } × Y en X × Y se identifica con Y en , lo mismo ocurre con X × { y ₀ } y X . En , los subespacios X e Y se cruzan en el único punto . El producto smash es entonces el cociente ${\displaystyle X\vee Y=(X\amalg Y)\;/{\sim }}$ ${\displaystyle X\vee Y}$ ${\displaystyle X\vee Y}$ ${\displaystyle x_{0}\sim y_{0}}$

${\displaystyle X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y).}$

El producto aplastante aparece en la teoría de la homotopía , una rama de la topología algebraica . En la teoría de la homotopía, a menudo se trabaja con una categoría de espacios diferente a la categoría de todos los espacios topológicos . En algunas de estas categorías la definición de producto smash debe modificarse ligeramente. Por ejemplo, el producto aplastante de dos complejos CW es un complejo CW si se utiliza el producto de complejos CW en la definición en lugar de la topología del producto . Se necesitan modificaciones similares en otras categorías.

Ejemplos

Una visualización de como el cociente . ${\displaystyle S^{1}\wedge S^{1}}$ ${\displaystyle (S^{1}\times S^{1})/(S^{1}\vee S^{1})}$

• El producto aplastante de cualquier espacio puntiagudo X con una esfera 0 (un espacio discreto con dos puntos) es homeomorfo a X .
• El producto aplastante de dos círculos es un cociente del toro homeomorfo a la 2 esfera.
• De manera más general, el producto aplastante de dos esferas S ^m y S ⁿ es homeomorfo a la esfera S ^{m + n} .
• El producto aplastante de un espacio X con un círculo es homeomorfo a la suspensión reducida de X :
  $${\displaystyle \Sigma X\cong X\wedge S^{1}.}$$
• La suspensión reducida iterada k veces de X es homeomorfa al producto aplastante de X y una k -esfera
  $${\displaystyle \Sigma ^{k}X\cong X\wedge S^{k}.}$$
• En teoría de dominios , tomar el producto de dos dominios (de modo que el producto sea estricto en sus argumentos).

Como producto monoidal simétrico

Para cualquier espacio puntiagudo X , Y y Z en una categoría "conveniente" apropiada (por ejemplo, la de espacios generados de forma compacta ), existen homeomorfismos naturales (que preservan el punto de base).

${\displaystyle {\begin{aligned}X\wedge Y&\cong Y\wedge X,\\(X\wedge Y)\wedge Z&\cong X\wedge (Y\wedge Z).\end{aligned}}}$

Sin embargo, para la categoría ingenua de espacios puntiagudos esto falla, como lo muestra el contraejemplo encontrado por Dieter Puppe . ^[1] Una prueba debida a Kathleen Lewis de que el contraejemplo de Puppe es de hecho un contraejemplo se puede encontrar en el libro de Johann Sigurdsson y J. Peter May . ^[2] ${\displaystyle X=Y=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle Z=\mathbb {N} }$

Estos isomorfismos convierten la categoría apropiada de espacios puntiagudos en una categoría monoidal simétrica con el producto smash como producto monoidal y la esfera 0 puntiaguda (un espacio discreto de dos puntos) como objeto unitario. Por lo tanto, se puede pensar en el producto smash como una especie de producto tensorial en una categoría apropiada de espacios puntiagudos.

relación adjunta

Los funtores adjuntos hacen que la analogía entre el producto tensorial y el producto smash sea más precisa. En la categoría de R -módulos sobre un anillo conmutativo R , el funtor tensor se deja junto al funtor Hom interno , de modo que ${\displaystyle (-\otimes _{R}A)}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,-)}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (X\otimes A,Y)\cong \mathrm {Hom} (X,\mathrm {Hom} (A,Y)).}$

En la categoría de espacios puntiagudos , el producto smash desempeña el papel del producto tensorial en esta fórmula: si somos compactos de Hausdorff, entonces tenemos una conjunción ${\displaystyle A,X}$

${\displaystyle \mathrm {Maps_{*}} (X\wedge A,Y)\cong \mathrm {Maps_{*}} (X,\mathrm {Maps_{*}} (A,Y))}$

donde denota mapas continuos que envían un punto base a otro y lleva la topología abierta compacta . ^[3] ${\displaystyle \operatorname {Maps_{*}} }$ ${\displaystyle \mathrm {Maps_{*}} (A,Y)}$

En particular, tomando como círculo unitario , vemos que el funtor de suspensión reducido se deja junto al funtor de espacio de bucle : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \mathrm {Maps_{*}} (\Sigma X,Y)\cong \mathrm {Maps_{*}} (X,\Omega Y).}$

Notas

1. Marioneta, Dieter (1958). "Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen. I.". Mathematische Zeitschrift . 69 : 299–344. doi :10.1007/BF01187411. SEÑOR  0100265. S2CID  121402726.(pág. 336)
2. Mayo, J. Peter ; Sigurdsson, Johann (2006). Teoría de la homotopía parametrizada . Encuestas y monografías matemáticas. vol. 132. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . sección 1.5. ISBN 978-0-8218-3922-5. SEÑOR  2271789.
3. "Topología algebraica", Maunder, teorema 6.2.38c

Referencias

• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.