Topología subespacial

Topología heredada

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un subespacio de un espacio topológico X es un subconjunto S de X que está equipado con una topología inducida a partir de la de X llamada topología subespacial ^[1] (o la topología relativa , ^[1] o la topología inducida , ^[1] o topología de traza ). ^[2]

Definición

Dado un espacio topológico y un subconjunto de , la topología del subespacio está definida por ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \tau _{S}=\lbrace S\cap U\mid U\in \tau \rbrace .}$

Es decir, un subconjunto de es abierto en la topología subespacial si y sólo si es la intersección de con un conjunto abierto en . Si está equipado con la topología del subespacio, entonces es un espacio topológico por derecho propio y se llama subespacio de . Generalmente se supone que los subconjuntos de espacios topológicos están equipados con la topología de subespacio a menos que se indique lo contrario. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Alternativamente, podemos definir la topología subespacial para un subconjunto de como la topología más burda para la cual el mapa de inclusión ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \iota :S\hookrightarrow X}$

es continuo .

De manera más general, supongamos que es una inyección de un conjunto a un espacio topológico . Entonces la topología subespacial se define como la topología más gruesa para la cual es continua. Los conjuntos abiertos en esta topología son precisamente los de la forma open in . entonces es homeomorfo a su imagen en (también con la topología subespacial) y se llama incrustación topológica . ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle \iota ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \iota }$

Un subespacio se llama subespacio abierto si la inyección es un mapa abierto , es decir, si la imagen delantera de un conjunto abierto de está abierta en . Asimismo se llama subespacio cerrado si la inyección es un mapa cerrado . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \iota }$

Terminología

La distinción entre un conjunto y un espacio topológico suele ser borrosa en términos de notación, por conveniencia, lo que puede ser una fuente de confusión cuando uno se encuentra por primera vez con estas definiciones. Por lo tanto, siempre que sea un subconjunto de , y sea un espacio topológico, entonces los símbolos sin adornos " " y " " a menudo pueden usarse para referirse y considerarse como dos subconjuntos de , y también a y como los espacios topológicos, relacionados como se discutió arriba. Entonces, frases como " un subespacio abierto de " se usan para significar que es un subespacio abierto de , en el sentido usado anteriormente; es decir: (i) ; y (ii) se considera dotado de la topología subespacial. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (S,\tau _{S})}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (S,\tau _{S})}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S\in \tau }$ ${\displaystyle S}$

Ejemplos

A continuación se representan los números reales con su topología habitual. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• La topología subespacial de los números naturales , como subespacio de , es la topología discreta . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Los números racionales considerados como un subespacio de no tienen la topología discreta ({0} por ejemplo no es un conjunto abierto porque no hay ningún subconjunto abierto cuya intersección pueda dar como resultado solo el singleton {0}). Si a y b son racionales, entonces los intervalos ( a , b ) y [ a , b ] son ​​respectivamente abiertos y cerrados, pero si a y b son irracionales, entonces el conjunto de todos los x racionales con a < x < b son ambos abierto y cerrado. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• El conjunto [0,1] como subespacio de es abierto y cerrado, mientras que como subconjunto solo está cerrado. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Como subespacio de , [0, 1] ∪ [2, 3] está compuesto por dos subconjuntos abiertos disjuntos (que también son cerrados) y, por lo tanto, es un espacio desconectado . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Sea S = [0, 1) un subespacio de la recta real . Entonces [0, 1 ⁄ 2 ) está abierto en S pero no en (como por ejemplo la intersección entre (- 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 2 ) y S da como resultado [0, 1 ⁄ 2 )). Del mismo modo, [ 1 ⁄ 2 , 1) está cerrado en S pero no en (ya que no hay ningún subconjunto abierto de que pueda cruzarse con [0, 1) para dar como resultado [ 1 ⁄ 2 , 1)). S es a la vez abierto y cerrado como subconjunto de sí mismo pero no como subconjunto de . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Propiedades

La topología subespacial tiene la siguiente propiedad característica. Sea un subespacio de y sea el mapa de inclusión. Entonces, para cualquier espacio topológico, un mapa es continuo si y sólo si el mapa compuesto es continuo. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:Y\to X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f:Z\to Y}$ ${\displaystyle i\circ f}$

Propiedad característica de la topología subespacial.

Esta propiedad es característica en el sentido de que se puede utilizar para definir la topología del subespacio en . ${\displaystyle Y}$

Enumeramos algunas propiedades adicionales de la topología subespacial. En lo siguiente, sea un subespacio de . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

• Si es continua entonces la restricción a es continua. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S}$
• Si es continuo entonces es continuo. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$
• Los conjuntos cerrados en son precisamente las intersecciones de con conjuntos cerrados en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$
• Si es un subespacio de entonces también es un subespacio de con la misma topología. En otras palabras, la topología subespacial que hereda es la misma que la que hereda . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$
• Supongamos que es un subespacio abierto de (so ). Entonces un subconjunto de está abierto en si y sólo si está abierto en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\in \tau }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$
• Supongamos que es un subespacio cerrado de (so ). Entonces un subconjunto de está cerrado si y sólo si está cerrado . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus S\in \tau }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$
• Si es una base para entonces es una base para . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{S}=\{U\cap S:U\in B\}}$ ${\displaystyle S}$
• La topología inducida en un subconjunto de un espacio métrico al restringir la métrica a este subconjunto coincide con la topología del subespacio para este subconjunto.

Preservación de propiedades topológicas.

Si un espacio topológico que tiene alguna propiedad topológica implica que sus subespacios tienen esa propiedad, entonces decimos que la propiedad es hereditaria . Si sólo los subespacios cerrados deben compartir la propiedad, la llamamos débilmente hereditaria .

• Todo subespacio abierto y todo subespacio cerrado de un espacio completamente metrizable es completamente metrizable.
• Todo subespacio abierto de un espacio de Baire es un espacio de Baire.
• Todo subespacio cerrado de un espacio compacto es compacto.
• Ser un espacio Hausdorff es hereditario.
• Ser un espacio normal es débilmente hereditario.
• La limitación total es hereditaria.
• Estar totalmente desconectado es hereditario.
• La primera contabilidad y la segunda contabilidad son hereditarias.

Ver también

• la noción dual del espacio cociente
• topología del producto
• topología de suma directa

Notas

1. tom Dieck, Tammo (2008), Topología algebraica, Libros de texto de matemáticas de EMS, Sociedad Matemática Europea (EMS), Zürich, p. 5, doi :10.4171/048, ISBN 978-3-03719-048-7, señor  2456045
2. Pinoli, Jean-Charles (junio de 2014), "El marco geométrico y topológico", Fundamentos matemáticos del procesamiento y análisis de imágenes 2 , Wiley, págs. 57–69, doi :10.1002/9781118984574.ch26, ISBN 9781118984574; consulte la Sección 26.2.4. Subvariedades, pág. 59

Referencias

• Bourbaki, Nicolas , Elementos de matemáticas: topología general , Addison-Wesley (1966)
• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, SEÑOR  0507446
• Willard, Stephen. Topología general , Publicaciones de Dover (2004) ISBN 0-486-43479-6