Categoría monoidal cerrada

Tipo de categoría en matemáticas

En matemáticas , especialmente en teoría de categorías , una categoría monoidal cerrada (o una categoría cerrada monoidal ) es una categoría que es a la vez una categoría monoidal y una categoría cerrada de tal manera que las estructuras son compatibles.

Un ejemplo clásico es la categoría de conjuntos , Set , donde el producto monoidal de los conjuntos y es el producto cartesiano habitual , y el Hom interno es el conjunto de funciones de a . Un ejemplo no cartesiano es la categoría de espacios vectoriales , K -Vect , sobre un cuerpo . Aquí el producto monoidal es el producto tensorial habitual de los espacios vectoriales , y el Hom interno es el espacio vectorial de aplicaciones lineales de un espacio vectorial a otro. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle B^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle K}$

El lenguaje interno de las categorías monoidales simétricas cerradas es la lógica lineal y el sistema de tipos es el sistema de tipos lineal . Muchos ejemplos de categorías monoidales cerradas son simétricas . Sin embargo, esto no tiene por qué ser siempre así, ya que se pueden encontrar categorías monoidales no simétricas en formulaciones de lingüística basadas en la teoría de categorías ; en términos generales, esto se debe a que el orden de las palabras en el lenguaje natural es importante.

Definición

Una categoría monoidal cerrada es una categoría monoidal tal que para cada objeto el funtor dado por tensor derecho con ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\mapsto A\otimes B}$

tiene un adjunto derecho , escrito

${\displaystyle A\mapsto (B\Rightarrow A).}$

Esto significa que existe una biyección, llamada ' currying ', entre los conjuntos de Hom.

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B\Rightarrow C)}$

esto es natural tanto en A como en C. En una notación diferente, pero común, se diría que el funtor

${\displaystyle -\otimes B:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

tiene un adjunto derecho

${\displaystyle [B,-]:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

De manera equivalente, una categoría monoidal cerrada es una categoría dotada, para cada dos objetos A y B , de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• un objeto , ${\displaystyle A\Rightarrow B}$
• un morfismo , ${\displaystyle \mathrm {eval} _{A,B}:(A\Rightarrow B)\otimes A\to B}$

satisfaciendo la siguiente propiedad universal: para cada morfismo

${\displaystyle f:X\otimes A\to B}$

Existe un morfismo único

${\displaystyle h:X\to A\Rightarrow B}$

de tal manera que

${\displaystyle f=\mathrm {eval} _{A,B}\circ (h\otimes \mathrm {id} _{A}).}$

Se puede demostrar ^{[ cita requerida ]} que esta construcción define un funtor . Este funtor se llama funtor interno Hom , y el objeto se llama Hom interno de y . Muchas otras notaciones son de uso común para el Hom interno. Cuando el producto tensorial en es el producto cartesiano, la notación habitual es y este objeto se llama objeto exponencial . ${\displaystyle \Rightarrow :{\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B^{A}}$

Categorías bicerradas y simétricas

Estrictamente hablando, hemos definido una categoría monoidal cerrada por la derecha , ya que exigimos que el tensoramiento por la derecha con cualquier objeto tenga un adjunto por la derecha. En una categoría monoidal cerrada por la izquierda , exigimos en cambio que el funtor del tensoramiento por la izquierda con cualquier objeto ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle B\mapsto A\otimes B}$

tener un adjunto derecho

${\displaystyle B\mapsto (B\Leftarrow A)}$

Una categoría monoidal bicerrada es una categoría monoidal que está cerrada tanto por la izquierda como por la derecha.

Una categoría monoidal simétrica está cerrada por la izquierda si y solo si está cerrada por la derecha. Por lo tanto, podemos hablar con seguridad de una 'categoría monoidal simétrica cerrada' sin especificar si está cerrada por la izquierda o por la derecha. De hecho, lo mismo es cierto de manera más general para las categorías monoidales trenzadas : dado que el trenzado hace que α sea naturalmente isomorfo a α , la distinción entre tensado por la izquierda y tensado por la derecha se vuelve irrelevante, por lo que toda categoría monoidal trenzada cerrada por la derecha se vuelve cerrada por la izquierda de manera canónica, y viceversa. ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle B\otimes A}$

Hemos descrito las categorías monoidales cerradas como categorías monoidales con una propiedad adicional. Se puede definir de manera equivalente una categoría monoidal cerrada como una categoría cerrada con una propiedad adicional. Es decir, podemos exigir la existencia de un producto tensorial que sea adjunto por la izquierda al funtor interno Hom . En este enfoque, las categorías monoidales cerradas también se denominan categorías cerradas monoidales . ^{[ cita requerida ]}

Ejemplos

• Toda categoría cartesiana cerrada es una categoría cerrada monoidal simétrica, cuando la estructura monoidal es la estructura del producto cartesiano. El funtor interno Hom está dado por el objeto exponencial . ${\displaystyle B^{A}}$
  • En particular, la categoría de conjuntos , Set , es una categoría monoidal cerrada y simétrica. Aquí el Hom interno es simplemente el conjunto de funciones de a . ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• La categoría de módulos , R -Mod sobre un anillo conmutativo R es una categoría cerrada, monoidal, simétrica y no cartesiana. El producto monoidal viene dado por el producto tensorial de módulos y el Hom interno viene dado por el espacio de aplicaciones R -lineales con su estructura natural R -módulo. ${\displaystyle M\Rightarrow N}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}$
  • En particular, la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo es una categoría monoidal cerrada y simétrica. ${\displaystyle K}$
  • Los grupos abelianos pueden considerarse como módulos Z , por lo que la categoría de grupos abelianos es también una categoría monoidal cerrada y simétrica.
• Una categoría cerrada compacta simétrica es una categoría cerrada monoidal simétrica en la que el funtor interno Hom está dado por . El ejemplo canónico es la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita, FdVect . ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ ${\displaystyle A^{*}\otimes B}$

Contraejemplos

• La categoría de anillos es una categoría simétrica, monoidal bajo el producto tensorial de anillos , con sirviendo como objeto unidad. Esta categoría no es cerrada. Si lo fuera, habría exactamente un homomorfismo entre cualquier par de anillos: . Lo mismo se aplica a la categoría de R - álgebras sobre un anillo conmutativo R . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} \otimes R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} ,R\Rightarrow S)\cong \{\bullet \}}$

Véase también

• Conjugación de Isbell

Referencias

• Kelly, GM (1982). Conceptos básicos de la teoría de categorías enriquecidas (PDF) . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 64. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-28702-9.OCLC 1015056596  .
• Melliès, Paul-André (2009). "Semántica categórica de la lógica lineal" (PDF) . Panoramas y síntesis . 27 : 1–197. CiteSeerX  10.1.1.62.5117 .
• Categoría monoidal cerrada en el laboratorio n