Producto tensorial de álgebras

Tensor product of algebras over a field; itself another algebra

En matemáticas , el producto tensorial de dos álgebras sobre un anillo conmutativo R también es un R -álgebra. Esto da el producto tensorial de las álgebras . Cuando el anillo es un campo , la aplicación más común de dichos productos es describir el producto de representaciones de álgebra .

Definición

Sea R un anillo conmutativo y sean A y B R - álgebras . Dado que A y B pueden considerarse ambos módulos R , su producto tensorial

${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

también es un módulo R. Al producto tensorial se le puede dar la estructura de un anillo definiendo el producto en elementos de la forma a  ⊗  b por ^{[1] [2]}

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}}$

y luego extendiendo por linealidad a todos A ⊗ _R B . Este anillo es un R -álgebra, asociativa y unital con elemento identidad dado por 1 _A  ⊗ 1 _B . ^[3] donde 1 _A y 1 _B son los elementos identidad de A y B. Si A y B son conmutativos, entonces el producto tensorial también es conmutativo.

El producto tensorial convierte la categoría de R -álgebras en una categoría monoidal simétrica . ^{[ cita necesaria ]}

Otras propiedades

Existen homomorfismos naturales de A y B a A  ⊗ _R  B dados por ^[4]

${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1_{B}}$

${\displaystyle b\mapsto 1_{A}\otimes b}$

Estos mapas hacen que el producto tensorial sea el coproducto en la categoría de R -álgebras conmutativas . El producto tensorial no es el coproducto en la categoría de todas las R -álgebras. Allí, el coproducto viene dado por un producto libre de álgebras más general . Sin embargo, el producto tensorial de álgebras no conmutativas puede describirse mediante una propiedad universal similar a la del coproducto:

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,X)\cong \lbrace (f,g)\in {\text{Hom}}(A,X)\times {\text{Hom}}(B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rbrace ,}$

donde [-, -] denota el conmutador . El isomorfismo natural se obtiene identificando un morfismo en el lado izquierdo con el par de morfismos en el lado derecho donde y de manera similar . ${\displaystyle \phi :A\otimes B\to X}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle f(a):=\phi (a\otimes 1)}$ ${\displaystyle g(b):=\phi (1\otimes b)}$

Aplicaciones

El producto tensorial de álgebras conmutativas es de uso frecuente en geometría algebraica . Para esquemas afines X , Y , Z con morfismos de X y Z a Y , entonces X = Spec( A ), Y = Spec( R ) y Z = Spec( B ) para algunos anillos conmutativos A , R , B , el El esquema del producto de fibra es el esquema afín correspondiente al producto tensorial de las álgebras:

${\displaystyle X\times _{Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _{R}B).}$

De manera más general, el producto de fibra de los esquemas se define pegando entre sí productos de fibra afines de esta forma.

Ejemplos

• El producto tensorial se puede utilizar como medio para tomar intersecciones de dos subesquemas en un esquema : considere las -álgebras , entonces su producto tensorial es , que describe la intersección de las curvas algebraicas f = 0 y g = 0 en el plano afín sobre C.​ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/g}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}\mathbb {C} [x,y]/(g)\cong \mathbb {C} [x,y]/(f,g)}$
• De manera más general, si es un anillo conmutativo y son ideales, entonces , con un isomorfismo único enviando a . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I,J\subseteq A}$ ${\displaystyle {\frac {A}{I}}\otimes _{A}{\frac {A}{J}}\cong {\frac {A}{I+J}}}$ ${\displaystyle (a+I)\otimes (b+J)}$ ${\displaystyle (ab+I+J)}$
• Los productos tensoriales se pueden utilizar como medio para cambiar coeficientes. Por ejemplo, y . ${\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(x^{3}+5x^{2}+x-1)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /5\cong \mathbb {Z} /5[x,y]/(x^{3}+x-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(f)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} \cong \mathbb {C} [x,y]/(f)}$
• Los productos tensoriales también se pueden utilizar para tomar productos de esquemas afines en un campo. Por ejemplo, es isomorfo al álgebra que corresponde a una superficie afín si f y g no son cero. ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2}]/(f(x))\otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} [y_{1},y_{2}]/(g(y))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}]/(f(x),g(y))}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{4}}$
• Dadas -álgebras y cuyos anillos subyacentes son anillos conmutativos graduados , el producto tensorial se convierte en un anillo conmutativo graduado al definir homogéneos ,, y . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle (a\otimes b)(a'\otimes b')=(-1)^{|b||a'|}aa'\otimes bb'}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b'}$

Ver también

• Extensión de escalares
• Producto tensorial de módulos.
• Producto tensor de campos
• Linealmente disjunto
• Aprendizaje subespacial multilineal

Notas

1. Kassel (1995), pág. 32.
2. Lang 2002, págs. 629–630.
3. Kassel (1995), pág. 32.
4. Kassel (1995), pág. 32.

Referencias

• Kassel, Christian (1995), Grupos cuánticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 155, Springer, ISBN 978-0-387-94370-1.
• Lang, Serge (2002) [publicado por primera vez en 1993]. Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 21. Saltador. ISBN 0-387-95385-X.