Linealmente disjunto

En matemáticas , se dice que las álgebras A , B sobre un cuerpo k dentro de alguna extensión de cuerpo de k son linealmente disjuntas sobre k si se cumplen las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle \Omega }$

• (i) El mapa inducido por es inyectivo . ${\displaystyle A\otimes _{k}B\to AB}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$
• (ii) Cualquier base k de A permanece linealmente independiente sobre B.
• (iii) Si son k -bases para A , B , entonces los productos son linealmente independientes sobre k . ${\displaystyle u_{i},v_{j}}$ ${\displaystyle u_{i}v_{j}}$

Nótese que, dado que cada subálgebra de es un dominio , (i) implica que es un dominio (en particular reducido ). Por el contrario, si A y B son cuerpos y A o B es una extensión algebraica de k y es un dominio, entonces es un cuerpo y A y B son linealmente disjuntos. Sin embargo, hay ejemplos donde es un dominio pero A y B no son linealmente disjuntos: por ejemplo, A = B = k ( t ), el cuerpo de funciones racionales sobre k . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A\otimes _{k}B}$ ${\displaystyle A\otimes _{k}B}$ ${\displaystyle A\otimes _{k}B}$

También se tiene: A , B son linealmente disjuntos sobre k si y solo si los subcuerpos de generados por , respectivamente, son linealmente disjuntos sobre k . (cf. Producto tensorial de los cuerpos ) ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A,B}$

Supóngase que A , B son linealmente disjuntas sobre k . Si , son subálgebras, entonces y son linealmente disjuntas sobre k . Por el contrario, si cualesquiera subálgebras finitamente generadas de las álgebras A , B son linealmente disjuntas, entonces A , B son linealmente disjuntas (ya que la condición involucra solo conjuntos finitos de elementos). ${\displaystyle A'\subset A}$ ${\displaystyle B'\subset B}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle B'}$

Véase también

• Producto tensorial de campos

Referencias

• PM Cohn (2003). Álgebra básica ^{[ página necesaria ]}