En matemáticas , una categoría Tannakiana es un tipo particular de categoría monoidal C , equipada con alguna estructura adicional relativa a un campo K dado . La función de tales categorías C es generalizar la categoría de representaciones lineales de un grupo algebraico G definido sobre K . Se han realizado, o podrían realizarse, una serie de aplicaciones importantes de la teoría en pos de algunas de las conjeturas centrales de la geometría algebraica y la teoría de números contemporáneas .
El nombre proviene de la dualidad Tadao Tannaka y Tannaka-Krein , una teoría sobre los grupos compactos G y su teoría de representación. La teoría se desarrolló por primera vez en la escuela de Alexander Grothendieck . Posteriormente fue reconsiderado por Pierre Deligne y se le hicieron algunas simplificaciones. El patrón de la teoría es el de la teoría de Galois de Grothendieck , que es una teoría sobre representaciones de permutación finita de grupos G que son grupos finitos .
La esencia de la teoría es que el funtor de fibra Φ de la teoría de Galois se reemplaza por un funtor tensor exacto y fiel F desde C hasta la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre K. El grupo de transformaciones naturales de Φ sobre sí mismo, que resulta ser un grupo finito en la teoría de Galois, es sustituido por el grupo G de transformaciones naturales de F sobre sí mismo, que respetan la estructura tensorial. En general , este no es un grupo algebraico, sino un esquema de grupo más general que es un límite inverso de grupos algebraicos (grupo proalgebraico), y luego se encuentra que C es equivalente a la categoría de representaciones lineales de dimensión finita de G.
De manera más general, puede ser que los functores de fibra F como los anteriores solo existan para categorías de espacios vectoriales de dimensión finita sobre campos de extensión no triviales L/K . En tales casos, el esquema de grupo G se reemplaza por un gerbe en el sitio fpqc de Spec( K ), y C es entonces equivalente a la categoría de representaciones (de dimensión finita) de .
Sea K un campo y C una categoría de tensor rígido abeliano K -lineal (es decir, un monoidal simétrico ) tal que . Entonces C es una categoría de Tannakian (sobre K ) si hay un campo de extensión L de K tal que exista un funtor tensor exacto y fiel K -lineal (es decir, un funtor monoidal fuerte ) F desde C hasta la categoría de dimensión finita L -espacios vectoriales . Una categoría de Tannakian sobre K es neutral si existe un funtor tensor exacto y fiel F con L=K . [1]
La construcción tannakiana se utiliza en las relaciones entre la estructura de Hodge y la representación l-ádica . Moralmente, la filosofía de los motivos nos dice que la estructura de Hodge y la representación de Galois asociada a una variedad algebraica están relacionadas entre sí. Los grupos algebraicos estrechamente relacionados, el grupo de Mumford-Tate y el grupo motivic de Galois, surgen de categorías de estructuras de Hodge, categorías de representaciones de Galois y motivos a través de categorías de Tannakian. La conjetura de Mumford-Tate propone que los grupos algebraicos que surgen de la estructura de Hodge y la representación de Galois mediante categorías de Tannak son isomórficos entre sí hasta componentes conectados.
Estos campos de aplicación están estrechamente relacionados con la teoría de los motivos . Otro lugar en el que se han utilizado las categorías tannakianas es en relación con la conjetura de la curvatura p de Grothendieck-Katz ; en otras palabras, en grupos de monodromía delimitadores .
La equivalencia geométrica de Satake establece una equivalencia entre representaciones del grupo dual de Langlands de un grupo reductivo G y ciertas gavillas perversas equivariantes en el Grassmanniano afín asociado a G. Esta equivalencia proporciona una construcción no combinatoria del grupo dual de Langlands. Se prueba mostrando que la categoría mencionada de gavillas perversas es una categoría Tannakiana e identificando su grupo dual Tannaka con .
Wedhorn (2004) ha establecido resultados parciales de la dualidad de Tannaka en la situación en la que la categoría es R -lineal, donde R ya no es un campo (como en la dualidad de Tannakiana clásica), sino ciertos anillos de valoración . Iwanari (2018) ha iniciado y desarrollado la dualidad de Tannaka en el contexto de las categorías infinitas .
