En geometría algebraica , el grupo de Mumford-Tate (o grupo de Hodge ) MT ( F ) construido a partir de una estructura de Hodge F es un determinado grupo algebraico G. Cuando F está dada por una representación racional de un toro algebraico , la definición de G es como el cierre de Zariski de la imagen en la representación del grupo circular , sobre los números racionales . Mumford (1966) introdujo los grupos de Mumford-Tate sobre los números complejos bajo el nombre de grupos de Hodge. Serre (1967) introdujo el análogo p -ádico de la construcción de Mumford para los módulos de Hodge-Tate , utilizando el trabajo de Tate (1967) sobre grupos p-divisibles , y los denominó grupos Mumford-Tate.
El toro algebraico T utilizado para describir las estructuras de Hodge tiene una representación matricial concreta, como las matrices invertibles 2×2 de la forma que viene dada por la acción de a + bi sobre la base {1, i } de los números complejos C sobre R. :
El grupo circular dentro de este grupo de matrices es el grupo unitario U (1).
Las estructuras de Hodge que surgen en geometría, por ejemplo en los grupos de cohomología de las variedades de Kähler , tienen una red que consta de clases de cohomología integrales. No se necesita mucho para la definición del grupo de Mumford-Tate, pero se supone que el espacio vectorial V subyacente a la estructura de Hodge tiene una estructura racional dada, es decir , está dada sobre los números racionales Q. Para los propósitos de la teoría se utiliza el espacio vectorial complejo V C , obtenido extendiendo los escalares de V de Q a C .
El peso k de la estructura de Hodge describe la acción de las matrices diagonales de T y, por lo tanto, se supone que V es homogéneo de peso k , bajo esa acción. Bajo la acción del grupo completo V C se descompone en subespacios V pq , conjugado complejo en pares bajo conmutación p y q . Pensando en la matriz en términos del número complejo λ que representa, V pq tiene la acción de λ por la p -ésima potencia y del complejo conjugado de λ por la q -ésima potencia. Aquí necesariamente
En términos más abstractos, el toro T subyacente al grupo matricial es la restricción de Weil del grupo multiplicativo GL (1), del campo complejo al campo real, un toro algebraico cuyo grupo de caracteres consta de los dos homomorfismos a GL (1) , intercambiados por conjugación compleja.
Una vez formulada de esta manera, la representación racional ρ de T en V que configura la estructura de Hodge F determina la imagen ρ( U (1)) en GL ( V C ); y MT ( F ) es por definición el grupo algebraico más pequeño definido sobre Q que contiene esta imagen. [1]
El contexto original para la formulación del grupo en cuestión fue la cuestión de la representación de Galois en el módulo Tate de una variedad abeliana A. Conjeturalmente, la imagen de tal representación de Galois, que es un grupo de Lie l-ádico para un número primo dado l , está determinada por el correspondiente grupo G de Mumford-Tate (procedente de la estructura de Hodge en H 1 ( A )), para en la medida en que el conocimiento de G determina el álgebra de Lie de la imagen de Galois. Esta conjetura se conoce sólo en casos particulares. [2] A través de generalizaciones de esta conjetura, el grupo Mumford-Tate se ha conectado con el grupo motívico de Galois y, por ejemplo, con la cuestión general de ampliar la conjetura de Sato-Tate (ahora un teorema).
Una conjetura relacionada sobre variedades abelianas establece que la matriz de período de A sobre un campo numérico tiene un grado de trascendencia , en el sentido del campo generado por sus entradas, predicho por la dimensión de su grupo Mumford-Tate, como en la sección anterior. El trabajo de Pierre Deligne ha demostrado que la dimensión limita el grado de trascendencia; de modo que el grupo de Mumford-Tate capte suficientes relaciones algebraicas entre los períodos. Este es un caso especial de la conjetura completa del período de Grothendieck. [3] [4]
