Teoría de la representación del grupo simétrico.

En matemáticas , la teoría de la representación del grupo simétrico es un caso particular de la teoría de la representación de grupos finitos , para la cual se puede obtener una teoría concreta y detallada. Esto tiene una amplia área de aplicaciones potenciales, desde la teoría de funciones simétricas hasta estudios de química cuántica de átomos, moléculas y sólidos. ^{[1] [2]}

El grupo simétrico S _n tiene orden n !. Sus clases de conjugación están etiquetadas por particiones de n . Por tanto, según la teoría de la representación de un grupo finito, el número de representaciones irreducibles no equivalentes , sobre los números complejos , es igual al número de particiones de n . A diferencia de la situación general para grupos finitos, de hecho existe una forma natural de parametrizar representaciones irreducibles mediante el mismo conjunto que parametriza las clases de conjugación, es decir, mediante particiones de n o equivalentemente diagramas de Young de tamaño n .

De hecho, cada una de estas representaciones irreducibles puede realizarse sobre números enteros (cada permutación actúa mediante una matriz con coeficientes enteros); se puede construir explícitamente calculando los simetrizadores de Young que actúan sobre un espacio generado por los cuadros de forma de Young dados por el diagrama de Young. La dimensión de la representación que corresponde al diagrama de Young viene dada por la fórmula de longitud del anzuelo . ${\displaystyle d_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

A cada representación irreducible ρ podemos asociarle un carácter irreducible, χ ^ρ . Para calcular χ ^ρ (π) donde π es una permutación, se puede utilizar la regla combinatoria de Murnaghan-Nakayama . ^[3] Tenga en cuenta que χ ^ρ es constante en las clases de conjugación, es decir, χ ^ρ (π) = χ ^ρ (σ ⁻¹ πσ) para todas las permutaciones σ.

En otros campos la situación puede volverse mucho más complicada. Si el campo K tiene una característica igual a cero o mayor que n, entonces, según el teorema de Maschke, el álgebra de grupos K S _n es semisimple. En estos casos, las representaciones irreducibles definidas sobre los números enteros dan el conjunto completo de representaciones irreducibles (después de la reducción módulo la característica si es necesario).

Sin embargo, las representaciones irreductibles del grupo simétrico no se conocen en forma arbitraria. En este contexto es más habitual utilizar el lenguaje de módulos que el de representaciones. La representación obtenida a partir de una representación irreducible definida sobre los números enteros reduciendo el módulo de la característica no será en general irreducible. Los módulos así construidos se denominan módulos Specht , y todo irreductible surge dentro de alguno de esos módulos. Ahora hay menos irreductibles y, aunque se pueden clasificar, no se comprenden muy bien. Por ejemplo, en general ni siquiera se conocen sus dimensiones .

La determinación de los módulos irreducibles para el grupo simétrico sobre un campo arbitrario se considera ampliamente como uno de los problemas abiertos más importantes en la teoría de la representación.

Representaciones de baja dimensión

Grupos simétricos

Las representaciones de menor dimensión de los grupos simétricos se pueden describir explícitamente, ^{[4] [5]} y en campos arbitrarios. ^{[6] [ página necesaria ]} Los dos grados más pequeños en la característica cero se describen aquí:

Cada grupo simétrico tiene una representación unidimensional llamada representación trivial , donde cada elemento actúa como una matriz de identidad uno por uno. Para n ≥ 2 , existe otra representación irreducible de grado 1, llamada representación de signo o carácter alterno , que toma una permutación a la matriz uno por uno con entrada ±1 basada en el signo de la permutación . Estas son las únicas representaciones unidimensionales de los grupos simétricos, ya que las representaciones unidimensionales son abelianas y la abelianización del grupo simétrico es C ₂ , el grupo cíclico de orden 2.

Para todo n , hay una representación n -dimensional del grupo simétrico de orden n. , llamado elrepresentación de permutación natural , que consiste en permutarncoordenadas. Esto tiene la subrepresentación trivial que consta de vectores cuyas coordenadas son todas iguales. El complemento ortogonal consta de aquellos vectores cuyas coordenadas suman cero, y cuando n ≥ 2, la representación en este subespacio es unarepresentación irreducible( n − 1)representación estándar. Otra( n − 1 )-dimensional se encuentra tensorizando con la representación de signos. Unpoder exterior de la representación estándares irreductible siempre que(Fulton y Harris 2004). ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n-1}$

Para n ≥ 7 , estas son las representaciones irreducibles de dimensión más baja de S _n ; todas las demás representaciones irreducibles tienen dimensión al menos n . Sin embargo, para n = 4 , la sobreyección de S ₄ a S ₃ permite que S ₄ herede una representación irreducible bidimensional. Para n = 6 , la excepcional incrustación transitiva de S ₅ en S ₆ produce otro par de representaciones irreducibles de cinco dimensiones.

Grupos alternos

El compuesto de cinco tetraedros , sobre los que actúa A ₅ , dando una representación tridimensional.

La teoría de la representación de los grupos alternos es similar, aunque la representación de signos desaparece. Para n ≥ 7 , las representaciones irreducibles de dimensión más baja son la representación trivial en la dimensión uno, y la representación ( n − 1) -dimensional del otro sumando de la representación de permutación, y todas las demás representaciones irreducibles tienen una dimensión más alta, pero hay excepciones para n más pequeño .

Los grupos alternos para n ≥ 5 tienen sólo una representación irreducible unidimensional, la representación trivial. Para n = 3, 4 hay dos representaciones irreducibles unidimensionales adicionales, correspondientes a mapas del grupo cíclico de orden 3: A ₃ ≅ C ₃ y A ₄ → A ₄ / V ≅ C ₃ .

• Para n ≥ 7 , solo hay una representación irreducible de grado n − 1 , y este es el grado más pequeño de una representación irreducible no trivial.
• Para n = 3, el análogo obvio de la representación dimensional ( n − 1) es reducible: la representación de permutación coincide con la representación regular y, por lo tanto, se divide en tres representaciones unidimensionales, ya que A ₃ ≅ C ₃ es abeliano; vea la transformada discreta de Fourier para la teoría de representación de grupos cíclicos.
• Para n = 4 , solo hay una representación irreducible n − 1 , pero existen representaciones irreducibles excepcionales de dimensión 1.
• Para n = 5 , existen dos representaciones duales irreducibles de la dimensión 3, correspondientes a su acción como simetría icosaédrica .
• Para n = 6 , hay una representación extra irreducible de la dimensión 5 correspondiente a la incrustación transitiva excepcional de A ₅ en  A ₆ .

Productos tensoriales de representaciones.

coeficientes de Kronecker

El producto tensorial de dos representaciones de correspondientes a los diagramas de Young es una combinación de representaciones irreducibles de , ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle V_{\lambda }\otimes V_{\mu }\cong \sum _{\nu }C_{\lambda ,\mu ,\nu }V_{\nu }}$

Los coeficientes se denominan coeficientes de Kronecker del grupo simétrico. Pueden calcularse a partir de los caracteres de las representaciones (Fulton y Harris 2004): ${\displaystyle C_{\lambda \mu \nu }\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle C_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\rho }{\frac {1}{z_{\rho }}}\chi _{\lambda }(C_{\rho })\chi _{\mu }(C_{\rho })\chi _{\nu }(C_{\rho })}$

La suma es sobre particiones de , con las clases de conjugación correspondientes. Los valores de los caracteres se pueden calcular utilizando la fórmula de Frobenius . Los coeficientes son ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{\rho }}$ ${\displaystyle \chi _{\lambda }(C_{\rho })}$ ${\displaystyle z_{\rho }}$

${\displaystyle z_{\rho }=\prod _{j=0}^{n}j^{i_{j}}i_{j}!={\frac {n!}{|C_{\rho }|}}}$

¿Dónde está el número de veces que aparece en , de modo que . ${\displaystyle i_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sum i_{j}j=n}$

Algunos ejemplos, escritos en términos de diagramas de Young (Hamermesh 1989):

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-1,1)\cong (n)+(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)}$

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-2,2){\underset {n>4}{\cong }}(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)+(n-3,2,1)}$

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-2,1,1)\cong (n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(n-2,2)\otimes (n-2,2)\cong &(n)+(n-1,1)+2(n-2,2)+(n-2,1,1)+(n-3,3)\\&+2(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)+(n-4,4)+(n-4,3,1)+(n-4,2,2)\end{aligned}}}$

Existe una regla simple para calcular cualquier diagrama de Young (Hamermesh 1989): el resultado es la suma de todos los diagramas de Young que se obtienen quitando un cuadro y luego sumando un cuadro, donde los coeficientes son uno excepto él mismo, cuyo coeficiente es , es decir, el número de filas de diferentes longitudes menos uno. ${\displaystyle (n-1,1)\otimes \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \#\{\lambda _{i}\}-1}$

Una restricción sobre los constituyentes irreducibles de es (James y Kerber 1981) ${\displaystyle V_{\lambda }\otimes V_{\mu }}$

${\displaystyle C_{\lambda ,\mu ,\nu }>0\implies |d_{\lambda }-d_{\mu }|\leq d_{\nu }\leq d_{\lambda }+d_{\mu }}$

donde la profundidad de un diagrama de Young es el número de cuadros que no pertenecen a la primera fila. ${\displaystyle d_{\lambda }=n-\lambda _{1}}$

Coeficientes de Kronecker reducidos

Para un diagrama de Young y , es un diagrama de Young de tamaño . Entonces es una función acotada y no decreciente de , y ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n\geq \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda [n]=(n-|\lambda |,\lambda )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\lim _{n\to \infty }C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}}$

se denomina coeficiente de Kronecker reducido ^[7] o coeficiente de Kronecker estable . ^[8] Existen límites conocidos sobre el valor de dónde alcanza su límite. ^[7] Los coeficientes de Kronecker reducidos son constantes de estructura de las categorías de representaciones de Deligne con . ^[9] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {C} -\mathbb {N} }$

A diferencia de los coeficientes de Kronecker, los coeficientes de Kronecker reducidos se definen para cualquier tripleta de diagramas de Young, no necesariamente del mismo tamaño. Si , entonces coincide con el coeficiente de Littlewood-Richardson . ^[10] Los coeficientes de Kronecker reducidos se pueden escribir como combinaciones lineales de coeficientes de Littlewood-Richardson mediante un cambio de bases en el espacio de funciones simétricas, dando lugar a expresiones que son manifiestamente integrales aunque no manifiestamente positivas. ^[8] Los coeficientes de Kronecker reducidos también se pueden escribir en términos de coeficientes de Kronecker y Littlewood-Richardson mediante la fórmula de Littlewood ^{[11] [12]} ${\displaystyle |\nu |=|\lambda |+|\mu |}$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }}$ ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle c_{\alpha \beta \gamma }^{\lambda }}$

${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\lambda ',\mu ',\nu ',\alpha ,\beta ,\gamma }C_{\lambda ',\mu ',\nu '}c_{\lambda '\beta \gamma }^{\lambda }c_{\mu '\alpha \gamma }^{\mu }c_{\nu '\alpha \beta }^{\nu }}$

Por el contrario, es posible recuperar los coeficientes de Kronecker como combinaciones lineales de coeficientes de Kronecker reducidos. ^[7]

Los coeficientes de Kronecker reducidos se implementan en el sistema de álgebra informática SageMath . ^{[13] [14]}

Valores propios de representaciones complejas.

Dado un elemento de tipo y orden de ciclo , los valores propios de en una representación compleja de son del tipo con , donde los números enteros se denominan exponentes cíclicos de con respecto a la representación. ^[15] ${\displaystyle w\in S_{n}}$ ${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{k})}$ ${\displaystyle m={\text{lcm}}(\mu _{i})}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \omega ^{e_{j}}}$ ${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{m}}}$ ${\displaystyle e_{j}\in {\frac {\mathbb {Z} }{m\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle w}$

Hay una descripción combinatoria de los exponentes cíclicos del grupo simétrico (y sus productos corona ). Al definir , sea el índice de un cuadro de Young estándar la suma de los valores de sobre los descensos del cuadro, . Entonces, los exponentes cíclicos de la representación descrita por el diagrama de Young son los índices de los cuadros de Young correspondientes. ^[15] ${\displaystyle \left(b_{\mu }(1),\dots ,b_{\mu }(n)\right)=\left({\frac {m}{\mu _{1}}},2{\frac {m}{\mu _{1}}},\dots ,m,{\frac {m}{\mu _{2}}},2{\frac {m}{\mu _{2}}},\dots ,m,\dots \right)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle b_{\mu }}$ ${\displaystyle {\text{ind}}_{\mu }(T)=\sum _{k\in \{{\text{descents}}(T)\}}b_{\mu }(k){\bmod {m}}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

En particular, si es de orden , entonces , y coincide con el índice mayor de (la suma de las bajadas). Los exponentes cíclicos de una representación irreducible de luego describen cómo se descompone en representaciones del grupo cíclico , siendo interpretados como la imagen de en la representación (unidimensional) caracterizada por . ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b_{\mu }(k)=k}$ ${\displaystyle {\text{ind}}_{\mu }(T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} }{n\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \omega ^{e_{j}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e_{j}}$

Ver también

• Polinomios alternos
• Polinomios simétricos
• funtor de Schur
• Correspondencia Robinson-Schensted
• Dualidad Schur-Weyl
• Elemento de Jucys-Murphy
• Relaciones Garnir

Referencias

1. Philip R. Bunker y Per Jensen (1998) Simetría y espectroscopia molecular , 2ª ed. NRC Research Press, Ottawa [1] págs.198-202. ISBN  9780660196282
2. R.Pauncz (1995) El grupo simétrico en química cuántica , CRC Press, Boca Raton, Florida
3. Richard Stanley, Combinatoria enumerativa, vol. 2
4. Burnside, William (1955), Teoría de grupos de orden finito , Nueva York: Dover Publications , MR  0069818
5. Rasala, Richard (1977), "Sobre los grados mínimos de los caracteres de Sn", Journal of Algebra , 45 (1): 132–181, doi : 10.1016/0021-8693(77)90366-0 , ISSN  0021-8693 , SEÑOR  0427445
6. James y Kerber 1981.
7. Briand, Emmanuel; Orellana, Rosa; Rosas, Mercedes (27 de julio de 2009). "La estabilidad de los productos Kronecker de las funciones Schur". Revista de Álgebra . 331 : 11–27. arXiv : 0907.4652 . doi :10.1016/j.jalgebra.2010.12.026. S2CID  16714030.
8. Assaf, Sami H.; Espira, David E. (26 de septiembre de 2018). "Los módulos Specht se descomponen como sumas alternas de restricciones de módulos Schur". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 148 (3): 1015-1029. arXiv : 1809.10125 . doi :10.1090/proc/14815. S2CID  119692633.
9. Entova-Aizenbud, Inna (6 de julio de 2014). "Categorías Deligne y coeficientes de Kronecker reducidos". arXiv : 1407.1506v1 [matemáticas.RT].
10. Dvir, Yoav (15 de febrero de 1996). "Sobre el producto Kronecker de personajes de Sn". Revista de Álgebra . 154 : 125-140. doi : 10.1006/jabr.1993.1008 .
11. Littlewood, DE (1958). "Productos y pletismos de caracteres con grupos ortogonales, simplécticos y simétricos". Revista Canadiense de Matemáticas . 10 . Sociedad Canadiense de Matemáticas: 17–32. doi : 10.4153/cjm-1958-002-7 . ISSN  0008-414X.
12. Orellana, Rosa; Zabrocki, Mike (23 de septiembre de 2017). "Productos de personajes del grupo simétrico". arXiv : 1709.08098v1 [math.CO].
13. Orellana, Rosa; Zabrocki, Mike (1 de octubre de 2015). "Caracteres de grupos simétricos como funciones simétricas (resumen extendido)". arXiv : 1510.00438v2 [math.CO].
14. "Caracteres del grupo simétrico como bases de las funciones simétricas". Manual de referencia de Sage 9.3: combinatoria . Consultado el 5 de julio de 2021 .
15. Stembridge, John (1 de diciembre de 1989). "Sobre los valores propios de las representaciones de grupos de reflexión y productos coronales". Revista Pacífico de Matemáticas . 140 (2). Editores de ciencias matemáticas: 353–396. doi : 10.2140/pjm.1989.140.353 . ISSN  0030-8730.

Publicaciones citadas

• Fulton, William; Harris, Joe (2004). "Teoría de la representación". Textos de Posgrado en Matemáticas . Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-3-540-00539-1. ISSN  0072-5285.
• Hamermesh, M (1989). Teoría de grupos y su aplicación a problemas físicos . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-66181-4. OCLC  20218471.
• James, Gordon; Kerber, Adalbert (1981), La teoría de la representación del grupo simétrico , Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones, vol. 16, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., ISBN 978-0-201-13515-2, señor  0644144
• James, GD (1983), "Sobre las dimensiones mínimas de representaciones irreducibles de grupos simétricos", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 94 (3): 417–424, Bibcode :1983MPCPS..94..417J, doi :10.1017 /S0305004100000803, ISSN  0305-0041, SEÑOR  0720791, S2CID  123113210