Regla de Murnaghan-Nakayama

En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas, la regla de Murnaghan-Nakayama, llamada así en honor a Francis Murnaghan y Tadashi Nakayama , es un método combinatorio para calcular valores de caracteres irreducibles de un grupo simétrico . ^[1] Hay varias generalizaciones de esta regla más allá de la teoría de representación de grupos simétricos, pero no se tratan aquí.

Los caracteres irreducibles de un grupo son de interés para los matemáticos porque resumen de forma concisa información importante sobre el grupo, como las dimensiones de los espacios vectoriales en los que los elementos del grupo pueden representarse mediante transformaciones lineales que “mezclan” todas las dimensiones. Para muchos grupos, calcular valores de caracteres irreducibles es muy difícil; la existencia de fórmulas simples es la excepción más que la regla.

La regla de Murnaghan-Nakayama es una regla combinatoria para calcular valores de caracteres de grupo simétrico χ^lambda
_​utilizando un tipo particular de tablas de Young . Aquí λ y ρ son ambas particiones enteras de algún entero n , el orden del grupo simétrico en consideración. La partición λ especifica el carácter irreducible, mientras que la partición ρ especifica la clase de conjugación en cuyos elementos del grupo se evalúa el carácter para producir el valor del carácter. Las particiones se representan como tuplas débilmente decrecientes ; por ejemplo, dos de las particiones de 8 son (5,2,1) y (3,3,1,1).

Hay dos versiones de la regla Murnaghan-Nakayama, una no recursiva y otra recursiva.

Versión no recursiva

Teorema:

${\displaystyle \chi _{\rho }^{\lambda }=\sum _{T\in BST(\lambda ,\rho )}(-1)^{ht(T)}}$

donde la suma se toma sobre el conjunto BST(λ,ρ) de todos los cuadros de franjas de borde de forma λ y tipo ρ. Es decir, cada cuadro T es un cuadro tal que

• La fila k -ésima de T tiene λ _k casillas
• Las casillas de T están llenas de números enteros, apareciendo el número entero i ρ _i veces
• Los números enteros en cada fila y columna son débilmente crecientes.
• el conjunto de cuadrados rellenos con el entero i forma una franja de borde , es decir, una forma oblicua conectada sin ningún cuadrado de 2×2.

La altura , ht (T), es la suma de las alturas de las franjas de borde en T. La altura de una franja de borde es uno menos que el número de filas que toca.

De este teorema se deduce que los valores de los caracteres de un grupo simétrico son números enteros.

Para algunas combinaciones de λ y ρ, no hay tablas con franjas de borde. En este caso, no hay términos en la suma y, por lo tanto, el valor del carácter es cero.

Ejemplo

Considere el cálculo de uno de los valores de caracteres para el grupo simétrico de orden 8, cuando λ es la partición (5,2,1) y ρ es la partición (3,3,1,1). La partición de forma λ especifica que la tabla debe tener tres filas, la primera con 5 casillas, la segunda con 2 casillas y la tercera con 1 casilla. La partición de tipo ρ especifica que la tabla debe estar llena con tres 1, tres 2, un 3 y un 4. Hay seis tablas con franjas de borde de este tipo:

Ejemplo de las tablas de franjas de borde involucradas en el cálculo de un valor de carácter de grupo simétrico particular utilizando la regla no recursiva de Murnaghan-Nakayama.

Si los llamamos , , , , , y , entonces sus alturas son ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{3}}$ ${\displaystyle T_{4}}$ ${\displaystyle T_{5}}$ ${\displaystyle T_{6}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}ht(T_{1})=0+1+0+0=1\\ht(T_{2})=1+0+0+0=1\\ht(T_{3})=1+0+0+0=1\\ht(T_{4})=2+0+0+0=2\\ht(T_{5})=2+0+0+0=2\\ht(T_{6})=2+1+0+0=3\end{aligned}}}$

y por lo tanto el valor del carácter es

${\displaystyle \chi _{(3,3,1,1)}^{(5,2,1)}=(-1)^{1}+(-1)^{1}+(-1)^{1}+(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{3}=-1-1-1+1+1-1=-2}$

Versión recursiva

Teorema:

${\displaystyle \chi _{\rho }^{\lambda }=\sum _{\xi \in BS(\lambda ,\rho _{1})}(-1)^{ht(\xi )}\chi _{\rho \backslash \rho _{1}}^{\lambda \backslash \xi }}$

donde la suma se toma sobre el conjunto BS(λ,ρ ₁ ) de franjas de borde dentro del diagrama de Young de forma λ que tienen ρ ₁ casillas y cuya eliminación deja un diagrama de Young válido. La notación representa la partición que resulta de eliminar la franja de borde ξ de λ. La notación representa la partición que resulta de eliminar el primer elemento ρ ₁ de ρ. ${\displaystyle \lambda \backslash \xi }$ ${\displaystyle \rho \backslash \rho _{1}}$

Nótese que el lado derecho es una suma de caracteres para grupos simétricos que tienen un orden menor que el del grupo simétrico con el que comenzamos en el lado izquierdo. En otras palabras, esta versión de la regla de Murnaghan-Nakayama expresa un carácter del grupo simétrico S _n en términos de los caracteres de grupos simétricos más pequeños S _k con k < n .

La aplicación recursiva de esta regla dará como resultado un árbol de evaluaciones de valores de caracteres para particiones cada vez más pequeñas. Cada rama se detiene por una de dos razones: o no hay franjas de borde de la longitud requerida dentro de la forma reducida, por lo que la suma de la derecha es cero, o se elimina una franja de borde que ocupa toda la forma reducida, lo que deja un diagrama de Young sin casillas. En este punto, estamos evaluando χ^lambda
_​cuando tanto λ como ρ son la partición vacía (), y la regla requiere que este caso terminal se defina como que tiene el carácter . ${\displaystyle \chi _{()}^{()}=1}$

Esta versión recursiva de la regla de Murnaghan-Nakayama es especialmente eficiente para el cálculo por computadora cuando se calculan tablas de caracteres para S _k para valores crecientes de k y se almacenan todas las tablas de caracteres calculadas previamente.

Ejemplo

Calcularemos nuevamente el valor del carácter con λ=(5,2,1) y ρ=(3,3,1,1).

Para comenzar, considere el diagrama de Young con forma λ. Como la primera parte de ρ es 3, busque franjas de borde que consten de 3 casillas. Hay dos posibilidades:

Ejemplo de las tablas de franjas de borde involucradas en el cálculo de un valor de carácter de grupo simétrico particular utilizando la regla recursiva de Murnaghan-Nakayama.

En el primer diagrama, la franja del borde tiene una altura de 0 y al eliminarla se obtiene la forma reducida (2,2,1). En el segundo diagrama, la franja del borde tiene una altura de 1 y al eliminarla se obtiene la forma reducida (5). Por lo tanto, se tiene

${\displaystyle \chi _{(3,3,1,1)}^{(5,2,1)}=\chi _{(3,1,1)}^{(2,2,1)}-\chi _{(3,1,1)}^{(5)}}$,

expresando un valor de carácter de S ₈ en términos de dos valores de carácter de S ₅ .

Aplicando la regla nuevamente a ambos términos, se encuentra

${\displaystyle \chi _{(3,1,1)}^{(2,2,1)}=-\chi _{(1,1)}^{(2)}}$

y

${\displaystyle \chi _{(3,1,1)}^{(5)}=\chi _{(1,1)}^{(2)}}$,

reduciendo a un valor de carácter de S ₂ .

Aplicando nuevamente, uno encuentra

${\displaystyle \chi _{(1,1)}^{(2)}=\chi _{(1)}^{(1)}}$,

reduciendo al único valor de carácter de S ₁ .

Una aplicación final produce el carácter terminal : ${\displaystyle \chi _{()}^{()}=1}$

${\displaystyle \chi _{(1)}^{(1)}=\chi _{()}^{()}=1}$

Trabajando hacia atrás a partir de este carácter conocido, el resultado es , como antes. ${\displaystyle \chi _{(3,3,1,1)}^{(5,2,1)}=-2}$

Referencias

1. Richard Stanley, Combinatoria enumerativa, vol. 2