Regla de Littlewood-Richardson

En matemáticas , la regla de Littlewood-Richardson es una descripción combinatoria de los coeficientes que surgen al descomponer un producto de dos funciones de Schur como una combinación lineal de otras funciones de Schur. Estos coeficientes son números naturales, que la regla de Littlewood-Richardson describe como el recuento de ciertas tablas sesgadas . Aparecen en muchos otros contextos matemáticos, por ejemplo, como multiplicidad en la descomposición de productos tensoriales de representaciones de dimensión finita de grupos lineales generales , o en la descomposición de ciertas representaciones inducidas en la teoría de la representación del grupo simétrico , o en el área de la combinatoria algebraica que trata con tablas de Young y polinomios simétricos .

Los coeficientes de Littlewood-Richardson dependen de tres particiones , digamos , de las cuales y describen las funciones de Schur que se multiplican, y da la función de Schur de la cual este es el coeficiente en la combinación lineal; en otras palabras, son los coeficientes tales que ${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$

${\displaystyle s_{\lambda }s_{\mu }=\sum _{\nu }c_{\lambda ,\mu }^{\nu }s_{\nu }.}$

La regla de Littlewood-Richardson establece que es igual al número de tablas de Littlewood-Richardson de forma oblicua y de peso . ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle \nu /\lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

Historia

Lamentablemente, la regla de Littlewood-Richardson es mucho más difícil de probar de lo que se sospechaba en un principio. En cierta ocasión le dijeron al autor que la regla de Littlewood-Richardson ayudó a que los hombres llegaran a la Luna, pero que no se demostró hasta después de que llegaron allí.

Gordon James (1987)

La regla de Littlewood-Richardson fue enunciada por primera vez por DE Littlewood y AR Richardson  (1934, teorema III p. 119), pero aunque la afirmaron como un teorema, solo la demostraron en algunos casos especiales bastante simples. Robinson  (1938) afirmó haber completado su prueba, pero su argumento tenía lagunas, aunque estaba escrito de manera tan oscura que estas lagunas no se notaron durante algún tiempo, y su argumento se reproduce en el libro (Littlewood 1950). Algunas de las lagunas fueron rellenadas posteriormente por Macdonald (1995). Las primeras pruebas rigurosas de la regla fueron dadas cuatro décadas después de su descubrimiento, por Schützenberger (1977) y Thomas (1974), después de que C. Schensted  (1961), Schützenberger (1963) y Knuth  (1970) desarrollaran la teoría combinatoria necesaria en su trabajo sobre la correspondencia Robinson-Schensted . Existen actualmente varias demostraciones breves de la regla, como (Gasharov 1998) y (Stembridge 2002) que utilizan involuciones de Bender-Knuth . Littelmann (1994) utilizó el modelo de trayectoria de Littelmann para generalizar la regla de Littlewood-Richardson a otros grupos de Lie semisimples.

La regla de Littlewood-Richardson es conocida por la cantidad de errores que aparecieron antes de su prueba completa y publicada. Varios intentos publicados de demostrarla son incompletos y es particularmente difícil evitar errores cuando se hacen cálculos manuales con ella: incluso el ejemplo original de DE Littlewood y AR Richardson (1934) contiene un error.

Cuadros de Littlewood y Richardson

Un cuadro de Littlewood y Richardson

Una tabla de Littlewood-Richardson es una tabla semiestándar sesgada con la propiedad adicional de que la secuencia obtenida al concatenar sus filas invertidas es una palabra reticular (o permutación reticular), lo que significa que en cada parte inicial de la secuencia cualquier número aparece al menos con la misma frecuencia que el número . Otra caracterización equivalente (aunque no tan obvia) es que la tabla misma, y ​​cualquier tabla obtenida a partir de ella eliminando una cierta cantidad de sus columnas más a la izquierda, tiene un peso débilmente decreciente. Se han encontrado muchas otras nociones combinatorias que resultan estar en biyección con las tablas de Littlewood-Richardson y, por lo tanto, también se pueden usar para definir los coeficientes de Littlewood-Richardson. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i+1}$

Otro cuadro de Littlewood-Richardson

Ejemplo

Consideremos el caso de que , y . Entonces el hecho de que se puede deducir del hecho de que las dos tablas que se muestran a la derecha son las únicas dos tablas Littlewood-Richardson de forma y peso . De hecho, dado que el último cuadro de la primera línea no vacía del diagrama de sesgo solo puede contener una entrada 1, toda la primera línea debe llenarse con entradas 1 (esto es cierto para cualquier tabla Littlewood-Richardson); en la última caja de la segunda fila solo podemos colocar un 2 por estrictez de columna y el hecho de que nuestra palabra de celosía no puede contener ninguna entrada mayor antes de que contenga un 2. Para la primera caja de la segunda fila ahora podemos usar un 1 o un 2. Una vez que se elige esa entrada, la tercera fila debe contener las entradas restantes para hacer el peso (3,2,1), en un orden débilmente creciente, por lo que ya no nos queda otra opción; en ambos casos resulta que encontramos una tabla Littlewood-Richardson. ${\displaystyle \lambda =(2,1)}$ ${\displaystyle \mu =(3,2,1)}$ ${\displaystyle \nu =(4,3,2)}$ ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }=2}$ ${\displaystyle \nu /\lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

Una descripción más geométrica

La condición de que la secuencia de entradas leídas de la tabla en un orden un tanto peculiar formen una palabra reticular puede ser reemplazada por una condición más local y geométrica. Dado que en una tabla semiestándar nunca aparecen entradas iguales en la misma columna, se pueden numerar las copias de cualquier valor de derecha a izquierda, que es su orden de aparición en la secuencia que debería ser una palabra reticular. Llamemos al número asociado a cada entrada su índice, y escribamos una entrada i con índice j como i [ j ]. Ahora bien, si alguna tabla de Littlewood–Richardson contiene una entrada con índice j , entonces esa entrada i [ j ] debería aparecer en una fila estrictamente debajo de la de (lo que ciertamente también ocurre, ya que la entrada i  − 1 aparece al menos con la misma frecuencia que la entrada i ). De hecho, la entrada i [ j ] también debería aparecer en una columna no más a la derecha que esa misma entrada (lo que a primera vista parece ser una condición más estricta). Si el peso de la tabla de Littlewood-Richardson se fija de antemano, entonces se puede formar una colección fija de entradas indexadas, y si estas se colocan de manera que respeten esas restricciones geométricas, además de las de las tablas semiestándar y la condición de que las copias indexadas de las mismas entradas deben respetar el orden de derecha a izquierda de los índices, entonces se garantiza que las tablas resultantes sean tablas de Littlewood-Richardson. ${\displaystyle i>1}$ ${\displaystyle (i-1)[j]}$ ${\displaystyle (i-1)[j]}$

Una forma algorítmica de la regla

Como se indicó anteriormente, el método Littlewood-Richardson proporciona una expresión combinatoria para los coeficientes individuales de Littlewood-Richardson, pero no indica un método práctico para enumerar las tablas Littlewood-Richardson con el fin de encontrar los valores de estos coeficientes. De hecho, dado que no existe un criterio simple para determinar si existen tablas Littlewood-Richardson de forma y peso (aunque hay varias condiciones necesarias, la más simple de las cuales es ); por lo tanto, parece inevitable que en algunos casos haya que realizar una búsqueda elaborada, solo para descubrir que no existen soluciones. ${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }$ ${\displaystyle \nu /\lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle |\lambda |+|\mu |=|\nu |}$

Sin embargo, la regla conduce a un procedimiento bastante eficiente para determinar la descomposición completa de un producto de funciones de Schur, en otras palabras, para determinar todos los coeficientes para λ y μ fijos, pero ν variable. Esto fija el peso de las tablas de Littlewood-Richardson que se construirán y la "parte interna" λ de su forma, pero deja libre la "parte externa" ν. Dado que el peso es conocido, el conjunto de entradas indexadas en la descripción geométrica es fijo. Ahora, para las entradas indexadas sucesivas, todas las posiciones posibles permitidas por las restricciones geométricas se pueden probar en una búsqueda de retroceso . Las entradas se pueden probar en orden creciente, mientras que entre entradas iguales se pueden probar por índice decreciente . El último punto es la clave para la eficiencia del procedimiento de búsqueda: la entrada i [ j ] se restringe entonces a estar en una columna a la derecha de , pero no más a la derecha que (si tales entradas están presentes). Esto restringe fuertemente el conjunto de posiciones posibles, pero siempre deja al menos una posición válida para ; De esta forma, cada colocación de una entrada dará lugar a al menos un cuadro Littlewood-Richardson completo, y el árbol de búsqueda no contiene callejones sin salida. ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle i[j+1]}$ ${\displaystyle i-1[j]}$ ${\displaystyle i[j]}$

Se puede utilizar un método similar para encontrar todos los coeficientes para λ y ν fijos, pero μ variable. ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$

Coeficientes de Littlewood-Richardson

Los coeficientes de Littlewood-Richardson c^un
_λμ   Aparecen de las siguientes formas interrelacionadas:

• Son las constantes de estructura para el producto en el anillo de funciones simétricas respecto a la base de funciones de Schur.

${\displaystyle s_{\lambda }s_{\mu }=\sum c_{\lambda \mu }^{\nu }s_{\nu }}$

o equivalentemente c^un
_λμ   es el producto interno de s _ν y s _λ s _μ .

• Expresan funciones de Schur sesgadas en términos de funciones de Schur

${\displaystyle s_{\nu /\lambda }=\sum _{\mu }c_{\lambda \mu }^{\nu }s_{\mu }.}$

• La c^un
  _λμ   aparecen como números de intersección en un Grassmanniano :

${\displaystyle \sigma _{\lambda }\sigma _{\mu }=\sum c_{\lambda \mu }^{\nu }\sigma _{\nu }}$

donde σ _μ es la clase de la variedad de Schubert de un Grassmanniano correspondiente a  μ .

• do^un
  _λμ   es el número de veces que la representación irreducible V _λ ⊗ V _μ del producto de grupos simétricos S _{| λ |} × S _{| μ |} aparece en la restricción de la representación V _ν de S _{| ν |} a S _{| λ |} × S _{| μ |} . Por reciprocidad de Frobenius este es también el número de veces que V _ν aparece en la representación de S _{| ν |} inducida a partir de V _λ  ⊗  V _μ .
• La c^un
  _λμ   aparecen en la descomposición del producto tensorial (Fulton 1997) de dos módulos de Schur (representaciones irreducibles de grupos lineales especiales)

${\displaystyle E^{\lambda }\otimes E^{\mu }=\bigoplus _{\nu }(E^{\nu })^{\oplus c_{\lambda \mu }^{\nu }}.}$

• do^un
  _λμ   es el número de tablas de Young estándar de forma ν / μ que son equivalentes a una tabla de Young estándar fija de forma  λ .
• do^un
  _λμ   es el número de tablas de Littlewood-Richardson de forma ν / λ y de peso  μ .
• do^un
  _λμ   es el número de imágenes entre μ y ν/λ.

Casos especiales

La fórmula de Pieri

La fórmula de Pieri , que es el caso especial de la regla de Littlewood-Richardson en el caso en que una de las particiones tiene solo una parte , establece que

${\displaystyle S_{\mu }S_{n}=\sum _{\lambda }S_{\lambda }}$

donde S _n es la función de Schur de una partición con una fila y la suma es sobre todas las particiones λ obtenida de μ agregando n elementos a su diagrama de Ferrers , no hay dos en la misma columna.

Particiones rectangulares

Si ambas particiones tienen forma rectangular , la suma también está libre de multiplicidad (Okada 1998). Fije a , b , p y q enteros positivos con p q . Denote por la partición con p partes de longitud a . Las particiones que indexan componentes no triviales de son aquellas particiones con longitud tal que ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle (a^{p})}$ ${\displaystyle s_{(a^{p})}s_{(b^{q})}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \leq p+q}$

• ${\displaystyle \lambda _{q+1}=\lambda _{q+2}=\cdots =\lambda _{p}=a,}$
• ${\displaystyle \lambda _{q}\geq \mathrm {max} (a,b)}$
• ${\displaystyle \lambda _{i}+\lambda _{p+q-i+1}=a+b,\quad {i=1,\dots ,q}.}$

Por ejemplo,

.

Generalizaciones

Coeficientes de Kronecker reducidos del grupo simétrico

El coeficiente de Kronecker reducido del grupo simétrico es una generalización de a tres diagramas de Young arbitrarios , que es simétrico bajo permutaciones de los tres diagramas. ${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }}$ ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$ ${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu }$

Funciones de Schur sesgadas

Zelevinsky (1981) extendió la regla de Littlewood-Richardson para sesgar las funciones de Schur de la siguiente manera:

${\displaystyle s_{\lambda }s_{\mu /\nu }=\sum _{\lambda +\omega (T_{\geq j})\in P}s_{\lambda +\omega (T)}}$

donde la suma es sobre todas las tablas T en μ/ν tales que para todo j , la secuencia de números enteros λ+ω( T _{≥ j} ) no es creciente, y ω es el peso.

Números de Newell-Littlewood

Los números de Newell-Littlewood se definen a partir de los coeficientes de Littlewood-Richardson mediante la expresión cúbica ^[1]

${\displaystyle N_{\mu ,\nu ,\lambda }=\sum _{\alpha ,\beta ,\gamma }c_{\alpha ,\beta }^{\mu }c_{\alpha ,\gamma }^{\nu }c_{\beta ,\gamma }^{\lambda }}$

Los números de Newell-Littlewood dan algunas de las multiplicidades de productos tensoriales de representaciones de dimensión finita de grupos de Lie clásicos de los tipos . ${\displaystyle B,C,D}$

La condición de no desaparición en los tamaños de los diagramas de Young conduce a ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }\neq 0\implies |\lambda |+|\mu |=|\nu |}$

${\displaystyle N_{\mu ,\nu ,\lambda }\neq 0\implies \left\{{\begin{array}{l}||\lambda |-|\mu ||\leq |\nu |\leq |\lambda |+|\mu |\\|\lambda |+|\mu |+|\nu |\in 2\mathbb {Z} \end{array}}\right.}$

Los números de Newell-Littlewood son generalizaciones de los coeficientes de Littlewood-Richardson en el sentido de que

${\displaystyle |\mu |+|\nu |=|\lambda |\implies N_{\mu ,\nu ,\lambda }=c_{\mu ,\nu }^{\lambda }}$

Los números de Newell-Littlewood que involucran un diagrama de Young con una sola fila obedecen una regla de tipo Pieri: es el número de formas de quitar casillas de (de diferentes columnas) y luego agregar casillas (a diferentes columnas) para hacer . ^[1] ${\displaystyle N_{(k),\mu ,\nu }}$ ${\displaystyle {\frac {k+|\mu |-|\nu |}{2}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\frac {k-|\mu |+|\nu |}{2}}}$ ${\displaystyle \nu }$

Los números de Newell-Littlewood son las constantes de estructura de un álgebra asociativa y conmutativa cuyos elementos base son particiones, con el producto . Por ejemplo, ${\displaystyle \mu \times \nu =\sum _{\lambda }N_{\mu ,\nu ,\lambda }\lambda }$

${\displaystyle (1)\times (k)=(k-1)+(k+1)+(k,1)\quad {\text{(Newell–Littlewood)}}}$

${\displaystyle (1)\times (k)=(k+1)+(k,1)\quad {\text{(Littlewood–Richardson)}}}$

Ejemplos

Los ejemplos de coeficientes de Littlewood-Richardson a continuación se dan en términos de productos de polinomios de Schur S _π , indexados por particiones π, utilizando la fórmula

${\displaystyle S_{\lambda }S_{\mu }=\sum c_{\lambda \mu }^{\nu }S_{\nu }.}$

Todos los coeficientes con un máximo de 4 se dan por: ${\displaystyle |\nu |}$

• S ₀ S _π = S _π para cualquier π. donde S ₀ =1 es el polinomio de Schur de la partición vacía
• S1S1 = S2 + S11_​​​_​​
• S2S1 = S3 + S21_​​_​​​
• S ₁₁ S ₁ = S ₁₁₁ + S ₂₁
• S3S1 = S4 + S31_​​​_​​
• S ₂₁ S ₁ = S ₃₁ + S ₂₂ + S ₂₁₁
• S2S2 = S4 + S31 + S22_​​_​​​​
• S2S11 = S31 + S211_​​​​_​
• S ₁₁₁ S ₁ = S ₁₁₁₁ + S ₂₁₁
• S ₁₁ S ₁₁ = S ₁₁₁₁ + S ₂₁₁ + S ₂₂

La mayoría de los coeficientes para particiones pequeñas son 0 o 1, lo que sucede en particular cuando uno de los factores tiene la forma S _n o S _11...1 , debido a la fórmula de Pieri y su contraparte transpuesta. El ejemplo más simple con un coeficiente mayor que 1 ocurre cuando ninguno de los factores tiene esta forma:

• S ₂₁ S ₂₁ = S ₄₂ + S ₄₁₁ + S ₃₃ + 2 S ₃₂₁ + S ₃₁₁₁ + S ₂₂₂ + S ₂₂₁₁ .

Para particiones más grandes, los coeficientes se vuelven más complicados. Por ejemplo,

• S ₃₂₁ S ₃₂₁ = S ₆₄₂ + S ₆₄₁₁ + S ₆₃₃ +2 S ₆₃₂₁ + S ₆₃₁₁₁ + S ₆₂₂₂ + S ₆₂₂₁₁ + S ₅₅₂ + S ₅₅₁₁ +2 S ₅₄₃ +4 S ₅₄₂₁ +2 S ₅₄₁₁₁ +3 S ₅₃₃₁ +3 S ₅₃₂₂ +4 S ₅₃₂₁₁ + S ₅₃₁₁₁₁ +2 S ₅₂₂₂₁ + S ₅₂₂₁₁₁ + S ₄₄₄ +3 S ₄₄₃₁ +2 S ₄₄₂₂ +3 S ₄₄₂₁₁ + S ₄₄₁₁₁₁ +3 S ₄₃₃₂ +3 S ₄₃₃₁₁ +4 S ₄₃₂₂₁ +2 S ₄₃₂₁₁₁ + S ₄₂₂₂₂ + S ₄₂₂₂₁₁ + S ₃₃₃₃ +2 S ₃₃₃₂₁ + S ₃₃₃₁₁₁ + S ₃₃₂₂₂ + S ₃₃₂₂₁₁ con 34 términos y multiplicidad total 62, y el coeficiente más grande es 4
• S ₄₃₂₁ S ₄₃₂₁ es una suma de 206 términos con multiplicidad total de 930 y el coeficiente más grande es 18.
• S ₅₄₃₂₁ S ₅₄₃₂₁ es una suma de 1433 términos con multiplicidad total 26704, y el coeficiente más grande (el de S _86543211 ) es 176.
• S ₆₅₄₃₂₁ S ₆₅₄₃₂₁ es una suma de 10873 términos con multiplicidad total de 1458444 (por lo que el valor promedio de los coeficientes es mayor que 100 y pueden ser tan grandes como 2064).

El ejemplo original dado por Littlewood y Richardson (1934, p. 122-124) fue (después de corregir 3 tablas que encontraron pero olvidaron incluir en la suma final)

• S ₄₃₁ S ₂₂₁ = S ₆₅₂ + S ₆₅₁₁ + S ₆₄₃ + 2 S ₆₄₂₁ + S ₆₄₁₁₁ + S _{6331 +} S ₆₃₂₂ + S ₆₃₂₁₁ + S ₅₅₃ + 2 S ₅₅₂₁ + S ₅₅₁₁₁ + 2 S ₅₄₃₁ + 2 S ₅₄₂₂ + 3 S ₅₄₂₁₁ + S ₅₄₁₁₁₁ + S ₅₃₃₂ + S ₅₃₃₁₁ + 2 S ₅₃₂₂₁ + S ₅₃₂₁₁₁ + S ₄₄₃₂ + S ₄₄₃₁₁ + 2 S ₄₄₂₂₁ + S ₄₄₂₁₁₁ + S ₄₃₃₂₁ + S ₄₃₂₂₂ + S ₄₃₂₂₁₁

con 26 términos procedentes de las siguientes 34 tablas:

....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ...22 ...22 ...2 ...2 ...2 ...2 ... ... ....3 . .23 .2 .3 . .22 .2 .2  3 3 2 2 3 23 2  3 3....1 ....1 ....1 ....1 ....1 ....1 ....1 ....1 ....1 ...12 ...12 ...12 ...12 ...2 ...1 ...1 ...2 ...1.23 .2 .3 . .13 .22 .2 .1 .2  3 2 2 2 3 23 23 2 3 3....1 ....1 ....1 ....1 ....1 ....1 ....1 ....1 ...2 ...2 ...2 ... ... ... ... ... .1 .3 . .12 .12 .1 .2 .2 2 1 1 23 2 22 13 13 2 2 3 3 2 2 3 3.... .... .... .... .... .... .... .... ...1 ...1 ...1 ...1 ...1 ... ... ... .12 .12 .1 .2 .2 .11 .1 .1 23 2 22 13 1 22 12 12 3 3 2 2 3 23 2 3 3

El cálculo de funciones de Schur oblicuas es similar. Por ejemplo, las 15 tablas de Littlewood-Richardson para ν=5432 y λ=331 son

...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 .. .11 ...11 ...11...2 ...2 ...2 ...2 ...2 ...2 ...2 ...2 ...2 ...2 ...2 ...2 .. .2 ...2 ...2.11 .11 .11 .12 .11 .12 .13 .13 .23 .13 .13 .12 .12 .23 .2312 13 22 12 23 13 12 24 14 14 22 23 33 13 34

entonces S _5432/331 = Σ c^un
_λμ  S _μ = S ₅₂ + S ₅₁₁ + S ₄₁₁₁ + S ₂₂₂₁ + 2 S ₄₃ + 2 S ₃₂₁₁ + 2 S ₃₂₂ + 2 S ₃₃₁ + 3 S ₄₂₁ (Fulton 1997, pág. 64).

Notas

1. Gao, Shiliang; Orelowitz, Gidon; Yong, Alexander (2021). "Números de Newell-Littlewood". Trans. Amer. Math. Soc . 374 (9): 6331–6366. arXiv : 2005.09012v1 . doi :10.1090/tran/8375. S2CID  218684561.

Referencias

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Enlaces externos

• Un programa en línea que descompone productos de funciones de Schur utilizando la regla de Littlewood-Richardson