En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de la representación , los functores de Schur (llamados así en honor a Issai Schur ) son ciertos functores de la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo fijo consigo mismo. Generalizan las construcciones de potencias exteriores y potencias simétricas de un espacio vectorial . Los functores de Schur están indexados mediante diagramas de Young de tal manera que el diagrama horizontal con n celdas corresponde al enésimo funtor de potencia simétrico, y el diagrama vertical con n celdas corresponde al enésimo funtor de potencia exterior. Si un espacio vectorial V es una representación de un grupo G , entonces también tiene una acción natural de G para cualquier funtor de Schur .![{\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }(-)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Definición
Los funtores de Schur están indexados por particiones y se describen a continuación. Sea R un anillo conmutativo, E un R -módulo y λ una partición de un entero positivo n . Sea T un cuadro de Young de forma λ , indexando así los factores del producto directo n veces , E × E ×... × E , con las cajas de T. Considere aquellos mapas de R -módulos que satisfacen las siguientes condiciones![{\displaystyle \varphi :E^{\times n}\a M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es multilineal,
se alterna en las entradas indexadas por cada columna de T ,
satisface una condición de intercambio que establece que si son números de la columna i de T entonces![{\displaystyle I\subconjunto \{1,2,\dots,n\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi (x)=\sum _ {x'}\varphi (x')}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde la suma es superior a n -tuplas x ′ obtenidas de x intercambiando los elementos indexados por I con cualquier elemento indexado por los números en la columna (en orden).![{\displaystyle |I|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El módulo R universal que se extiende a un mapeo de módulos R es la imagen de E bajo el funtor de Schur indexado por λ .![{\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }E}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\tilde {\varphi }}:\mathbb {S} ^{\lambda }E\to M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para ver un ejemplo de la condición (3) impuesta,
supongamos que λ es la partición y el cuadro T está numerado de modo que sus entradas sean 1, 2, 3, 4, 5 cuando se lee de arriba a abajo (de izquierda a derecha). ). Tomando (es decir, los números en la segunda columna de T ) tenemos![{\displaystyle \varphi}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (2,2,1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I=\{4,5\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=\varphi (x_{4},x_{5},x_{3}, x_{1},x_{2})+\varphi (x_{4},x_{2},x_{5},x_{1},x_{3})+\varphi (x_{1},x_{ 4},x_{5},x_{2},x_{3}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
mientras que si entonces![{\displaystyle I=\{5\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=\varphi (x_{5},x_{2},x_{3}, x_{4},x_{1})+\varphi (x_{1},x_{5},x_{3},x_{4},x_{2})+\varphi (x_{1},x_{ 2},x_{5},x_{4},x_{3}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos
Fije un espacio vectorial V sobre un campo de característica cero. Identificamos particiones y los correspondientes diagramas de Young. Se mantienen las siguientes descripciones: [1]
- Para una partición λ = ( n ) el funtor de Schur S λ ( V ) = Sym n ( V ).
- Para una partición λ = (1, ..., 1) (repetida n veces) el funtor de Schur S λ ( V ) = Λ n ( V ).
- Para una partición λ = (2, 1) el funtor de Schur S λ ( V ) es el cokernel del mapa de comultiplicación de potencias exteriores Λ 3 ( V ) → Λ 2 ( V ) ⊗ V .
- Para una partición λ = (2, 2) el functor de Schur S λ ( V ) es el cociente de Λ 2 ( V ) ⊗ Λ 2 ( V ) por las imágenes de dos mapas. Una es la composición Λ 3 ( V ) ⊗ V → Λ 2 ( V ) ⊗ V ⊗ V → Λ 2 ( V ) ⊗ Λ 2 ( V ), donde el primer mapa es la comultiplicación a lo largo de la primera coordenada. El otro mapa es una comultiplicación Λ 4 ( V ) → Λ 2 ( V ) ⊗ Λ 2 ( V ).
- Para una partición λ = ( n , 1, ..., 1 ), con 1 repetido m veces, el functor de Schur S λ ( V ) es el cociente de Λ n ( V ) ⊗ Sym m ( V ) por la imagen de la composición de la comultiplicación en potencias exteriores y la multiplicación en potencias simétricas:
![{\displaystyle \Lambda ^{n+1}(V)\otimes \mathrm {Sym} ^{m-1}(V)~\xrightarrow {\Delta \otimes \mathrm {id} } ~\Lambda ^{n }(V)\otimes V\otimes \mathrm {Sym} ^{m-1}(V)~\xrightarrow {\mathrm {id} \otimes \cdot } ~\Lambda ^{n}(V)\otimes \ mathrm {Símbolo} ^{m}(V)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aplicaciones
Sea V un espacio vectorial complejo de dimensión k . Es una representación tautológica de su grupo de automorfismos GL( V ). Si λ es un diagrama donde cada fila no tiene más de k celdas, entonces S λ ( V ) es una representación GL ( V ) irreducible de mayor peso λ . De hecho, cualquier representación racional de GL( V ) es isomorfa a una suma directa de representaciones de la forma S λ ( V ) ⊗ det( V ) ⊗ m , donde λ es un diagrama de Young con cada fila estrictamente más corta que k , y m es cualquier número entero (posiblemente negativo).
En este contexto, la dualidad de Schur-Weyl establece que como módulo GL ( V )
![{\displaystyle V^{\otimes n}=\bigoplus _{\lambda \vdash n:\ell (\lambda )\leq k}(\mathbb {S} ^{\lambda }V)^{\oplus f^ {\lambda}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde es el número de cuadros jóvenes estándar de forma λ . De manera más general, tenemos la descomposición del producto tensor como -bimódulo![{\displaystyle f^{\lambda }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {GL} (V)\times {\mathfrak {S}}_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V^{\otimes n}=\bigoplus _{\lambda \vdash n:\ell (\lambda )\leq k}(\mathbb {S} ^{\lambda }V)\otimes \operatorname {Specht } (\lambda)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
¿Dónde está el módulo Specht indexado por λ ? Los functores de Schur también se pueden utilizar para describir el anillo de coordenadas de determinadas variedades de banderas.![{\displaystyle \operatorname {Specht} (\lambda)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
pletismo
Para dos diagramas de Young λ y μ, considere la composición de los correspondientes functores de Schur S λ (S μ (-)). Esta composición se llama pletismo de λ y μ . De la teoría general se sabe [1] que, al menos para espacios vectoriales sobre un campo cero característico, el pletismo es isomorfo a una suma directa de functores de Schur. El problema de determinar qué diagramas de Young aparecen en esa descripción y cómo calcular sus multiplicidades está abierto, aparte de algunos casos especiales como Sym m (Sym 2 ( V )).
Ver también
Referencias
- ^ ab Weyman, Jerzy (2003). Cohomología de haces de vectores y sicigias . Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/CBO9780511546556. ISBN 9780511546556.
- J. Towber, Dos nuevos functores de módulos a álgebras, J. Algebra 47 (1977), 80-104. doi:10.1016/0021-8693(77)90211-3
- W. Fulton, Young Tableaux, con aplicaciones a la teoría de la representación y la geometría . Prensa de la Universidad de Cambridge, 1997, ISBN 0-521-56724-6
enlaces externos
- Funtores de Schur | El café de categoría n