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Conjetura de la curvatura p de Grothendieck-Katz

En matemáticas , la conjetura de curvatura p de Grothendieck-Katz es un principio local-global para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales , relacionado con la teoría diferencial de Galois y en un sentido amplio análogo al resultado del teorema de densidad de Chebotarev considerado como el caso polinomial . Es una conjetura de Alexander Grothendieck de finales de la década de 1960 y aparentemente no fue publicada por él de ninguna forma.

El caso general sigue sin resolverse, a pesar de los recientes avances; se ha relacionado con investigaciones geométricas que involucran foliaciones algebraicas .

Formulación

En el enunciado más simple posible, la conjetura se puede expresar en sus aspectos esenciales para un sistema vectorial escrito como

para un vector v de tamaño n y una matriz A n × n de funciones algebraicas con coeficientes numéricos algebraicos . La cuestión es dar un criterio para saber cuándo existe un conjunto completo de soluciones de funciones algebraicas, es decir, una matriz fundamental (es decir, n soluciones vectoriales puestas en una matriz de bloques ). Por ejemplo, una pregunta clásica era para la ecuación hipergeométrica : ¿cuándo tiene un par de soluciones algebraicas, en términos de sus parámetros? La respuesta se conoce clásicamente como lista de Schwarz . En términos de monodromía , la cuestión es identificar los casos de grupo de monodromía finito.

Al reformular y pasar a un sistema más grande, el caso esencial es para funciones racionales en A y coeficientes de números racionales. Entonces, una condición necesaria es que para casi todos los números primos p , el sistema definido por el módulo de reducción p también debe tener un conjunto completo de soluciones algebraicas, sobre el campo finito con p elementos.

La conjetura de Grothendieck es que estas condiciones necesarias, para casi todo p , deberían ser suficientes. La conexión con p -curvatura es que la condición mod p establecida es lo mismo que decir que la p -curvatura, formada por una operación de recurrencia en A , [1] es cero; entonces, otra forma de decirlo es que p -curvatura de 0 para casi todo p implica suficientes soluciones algebraicas de la ecuación original.

La formulación de Katz para el grupo Galois.

Nicholas Katz ha aplicado técnicas de categorías de Tannakian para demostrar que esta conjetura es esencialmente lo mismo que decir que el grupo diferencial de Galois G (o estrictamente hablando el álgebra de Lie g del grupo algebraico G , que en este caso es la clausura de Zariski del grupo de monodromía ) puede determinarse mediante información mod p , para una cierta clase amplia de ecuaciones diferenciales. [2]

Progreso

Benson Farb y Mark Kisin han probado una amplia clase de casos ; [3] estas ecuaciones están en una variedad X localmente simétrica sujeta a algunas condiciones de teoría de grupos. Este trabajo se basa en los resultados previos de Katz para las ecuaciones de Picard-Fuchs (en el sentido contemporáneo de la conexión Gauss-Manin ), amplificados en la dirección tannakiana por André. También aplica una versión de superrigidez particular a los grupos aritméticos . Otros avances se han producido mediante métodos aritméticos. [4]

Historia

Nicholas Katz relacionó algunos casos con la teoría de la deformación en 1972, en un artículo donde se publicó la conjetura. [5] Desde entonces se han publicado reformulaciones. Se ha propuesto un análogo q para ecuaciones en diferencias . [6]

En respuesta a la charla de Kisin sobre este trabajo en el Colloque Grothendieck de 2009, [7] Katz dio un breve relato, desde su conocimiento personal, de la génesis de la conjetura. Grothendieck lo presentó en un debate público en la primavera de 1969, pero no escribió nada sobre el tema. Llegó a esta idea gracias a intuiciones fundamentales en el área de la cohomología cristalina , que en aquel momento estaba siendo desarrollada por su alumno Pierre Berthelot . De alguna manera, deseando equiparar la noción de "nilpotencia" en la teoría de las conexiones con la técnica de la estructura de poder dividido que se convirtió en estándar en la teoría cristalina, Grothendieck produjo la conjetura como subproducto.

Notas

  1. ^ Daniel Bertrand, Seminario Bourbaki 750, 1991-2, sección 5.
  2. ^ Katz, Nicolás M. (1982). "Una conjetura en la teoría aritmética de ecuaciones diferenciales" (PDF) . Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 110 (2): 203–239. doi : 10.24033/bsmf.1960 .
  3. ^ Farb, Benson; Kisin, Mark (2009). "Rigidez, variedades localmente simétricas y la conjetura de Grothendieck-Katz" (PDF) . Avisos de Res. Matemáticas Internacionales . 2009 (22): 4159–4167. CiteSeerX 10.1.1.158.3198 . doi :10.1093/imrn/rnp082. 
  4. ^ Chambert-Loir, Antoine (2002). "Théorèmes d'algébrisation en géométrie diophantienne". arXiv : matemáticas/0103192 .
  5. ^ Katz, Nicolás M. (1972). "Soluciones algebraicas de ecuaciones diferenciales (p-curvatura y filtración de Hodge)". Inventar. Matemáticas. 18 (1–2): 1–118. Código Bib : 1972 InMat..18....1K. doi :10.1007/BF01389714. S2CID  119830251.
  6. ^ Di Vizio, Lucía (2002). "Teoría aritmética de q -ecuaciones en diferencias". Inventar. Matemáticas . 150 (3): 517–578. arXiv : matemáticas/0104178 . Código Bib : 2002 InMat.150..517D. doi :10.1007/s00222-002-0241-z. S2CID  119583087.
  7. ^ Grabación de vídeo.

Referencias

Lectura adicional