Ecuación de Picard-Fuchs

Ecuación matemática

En matemáticas , la ecuación de Picard-Fuchs , llamada así en honor a Émile Picard y Lazarus Fuchs , es una ecuación diferencial ordinaria lineal cuyas soluciones describen los períodos de las curvas elípticas .

Definición

Dejar

${\displaystyle j={\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}}$

sea ​​el j-invariante con y los invariantes modulares de la curva elíptica en forma de Weierstrass : ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{3}}$

${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}.\,}$

Nótese que el j -invariante es un isomorfismo de la superficie de Riemann a la esfera de Riemann ; donde es el semiplano superior y es el grupo modular . La ecuación de Picard-Fuchs es entonces ${\displaystyle \mathbb {H} /\Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dj^{2}}}+{\frac {1}{j}}{\frac {dy}{dj}}+{\frac {31j-4}{144j^{2}(1-j)^{2}}}y=0.\,}$

Escrito en forma Q , uno tiene

${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dj^{2}}}+{\frac {1-1968j+2654208j^{2}}{4j^{2}(1-1728j)^{2}}}f=0.\,}$

Soluciones

Esta ecuación se puede expresar en la forma de ecuación diferencial hipergeométrica . Tiene dos soluciones linealmente independientes, llamadas períodos de funciones elípticas. La relación de los dos períodos es igual a la relación de períodos τ, la coordenada estándar en el semiplano superior. Sin embargo, la relación de dos soluciones de la ecuación hipergeométrica también se conoce como mapa de triángulos de Schwarz .

La ecuación de Picard-Fuchs se puede expresar en la forma de ecuación diferencial de Riemann y, por lo tanto, las soluciones se pueden leer directamente en términos de funciones P de Riemann . Se tiene

${\displaystyle y(j)=P\left\{{\begin{matrix}0&1&\infty &\;\\{1/6}&{1/4}&0&j\\{-1/6\;}&{3/4}&0&\;\end{matrix}}\right\}\,}$

Se pueden dar al menos cuatro métodos para encontrar la inversa de la función j .

En su carta a Borchardt, Dedekind define la función j por su derivada de Schwarz. Como fracción parcial, revela la geometría del dominio fundamental:

${\displaystyle 2(S\tau )(j)={\frac {1-{\frac {1}{4}}}{(1-j)^{2}}}+{\frac {1-{\frac {1}{9}}}{j^{2}}}+{\frac {1-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{9}}}{j(1-j)}}={\frac {3}{4(1-j)^{2}}}+{\frac {8}{9j^{2}}}+{\frac {23}{36j(1-j)}}}$

donde ( Sƒ )( x ) es la derivada schwarziana de ƒ con respecto a x .

Generalización

En geometría algebraica , se ha demostrado que esta ecuación es un caso muy especial de un fenómeno general: la conexión Gauss-Manin .

Referencias

Pedagógico

• Schnell, Christian, Sobre el cálculo de ecuaciones de Picard-Fuchs (PDF)
• J. Harnad y J. McKay, Soluciones modulares para ecuaciones de tipo Halphen generalizado , Proc. R. Soc. Lond. A 456 (2000), 261–294,

Referencias

• J. Harnad, Picard–Fuchs Equations, Hauptmoduls and Integrable Systems , Capítulo 8 (págs. 137–152) de Integrability: The Seiberg–Witten and Witham Equation (Eds. HW Braden e IM Krichever, Gordon y Breach, Ámsterdam (2000)). arXiv:solv-int/9902013
• Para una prueba detallada de la ecuación de Picard-Fuchs: Milla, Lorenz (2018), Una prueba detallada de la fórmula de Chudnovsky con medios de análisis complejo básico , arXiv : 1809.00533