En matemáticas, la cohomología cristalina es una teoría de cohomología de Weil para esquemas X sobre un cuerpo base k . Sus valores H n ( X / W ) son módulos sobre el anillo W de vectores de Witt sobre k . Fue introducida por Alexander Grothendieck (1966, 1968) y desarrollada por Pierre Berthelot (1974).
La cohomología cristalina está parcialmente inspirada en la prueba p -ádica de Dwork (1960) de parte de las conjeturas de Weil y está estrechamente relacionada con la versión algebraica de la cohomología de De Rham que fue introducida por Grothendieck (1963). En términos generales, la cohomología cristalina de una variedad X en la característica p es la cohomología de De Rham de un ascenso suave de X a la característica 0, mientras que la cohomología de De Rham de X es la cohomología cristalina reducida mod p (después de tener en cuenta Tor s más altos ).
La idea de la cohomología cristalina, en líneas generales, es reemplazar los conjuntos abiertos de Zariski de un esquema por engrosamientos infinitesimales de conjuntos abiertos de Zariski con estructuras de potencia divididas . La motivación para esto es que luego se puede calcular tomando un levantamiento local de un esquema de característica p a característica 0 y empleando una versión apropiada de la cohomología algebraica de De Rham.
La cohomología cristalina sólo funciona bien para esquemas propios suaves. La cohomología rígida la extiende a esquemas más generales.
Para los esquemas de característica p , la teoría de cohomología cristalina puede manejar preguntas sobre p -torsión en grupos de cohomología mejor que la cohomología étale p -ádica . Esto la convierte en un telón de fondo natural para gran parte del trabajo sobre funciones L p-ádicas .
La cohomología cristalina, desde el punto de vista de la teoría de números, llena un vacío en la información de la cohomología l-ádica , que ocurre exactamente donde hay 'primos característicos iguales'. Tradicionalmente reservada a la teoría de ramificación , la cohomología cristalina convierte esta situación en la teoría del módulo de Dieudonné , lo que proporciona un importante soporte para los problemas aritméticos. Jean-Marc Fontaine formuló conjeturas de amplio alcance para convertir esto en enunciados formales , cuya resolución se denomina teoría de Hodge p-ádica .
Para una variedad X sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p > 0, los grupos de cohomología -ádicos para cualquier número primo distinto de p dan grupos de cohomología satisfactorios de X , con coeficientes en el anillo de enteros -ádicos . En general, no es posible encontrar grupos de cohomología similares con coeficientes en Q p (o Z p , o Q , o Z ) que tengan propiedades razonables.
La razón clásica (debida a Serre) es que si X es una curva elíptica supersingular , entonces su anillo de endomorfismo es un orden máximo en un álgebra de cuaterniones B sobre Q ramificada en p e ∞. Si X tuviera un grupo de cohomología sobre Q p de la dimensión esperada 2, entonces (el álgebra opuesta de) B actuaría sobre este espacio bidimensional sobre Q p , lo cual es imposible ya que B está ramificado en p . [1]
La teoría de cohomología cristalina de Grothendieck evita esta obstrucción porque produce módulos sobre el anillo de vectores de Witt del campo fundamental . Por lo tanto, si el campo fundamental es un cierre algebraico de F p , sus valores son módulos sobre la completitud p -ádica de la extensión no ramificada máxima de Z p , un anillo mucho más grande que contiene raíces n -ésimas de la unidad para todo n no divisible por p , en lugar de sobre Z p .
Una idea para definir una teoría de cohomología de Weil de una variedad X sobre un cuerpo k de característica p es 'elevarla' a una variedad X * sobre el anillo de vectores de Witt de k (que devuelve X en reducción módulo p ), y luego tomar la cohomología de De Rham de esta elevación. El problema es que no es del todo obvio que esta cohomología sea independiente de la elección de elevación.
La idea de la cohomología cristalina en la característica 0 es encontrar una definición directa de una teoría de cohomología como la cohomología de haces constantes en un sitio adecuado.
sobre X , llamado sitio infinitesimal y luego demostrar que es lo mismo que la cohomología de De Rham de cualquier elevación.
El sitio Inf( X ) es una categoría cuyos objetos pueden considerarse como algún tipo de generalización de los conjuntos abiertos convencionales de X . En la característica 0 sus objetos son engrosamientos infinitesimales U → T de subconjuntos abiertos de Zariski U de X . Esto significa que U es el subesquema cerrado de un esquema T definido por un haz nilpotente de ideales en T ; por ejemplo, Spec( k )→ Spec( k [ x ]/( x 2 )).
Grothendieck demostró que para esquemas suaves X sobre C , la cohomología del haz O X sobre Inf( X ) es la misma que la cohomología de Rham usual (suave o algebraica).
En la característica p el análogo más obvio del sitio cristalino definido arriba en la característica 0 no funciona. La razón es, a grandes rasgos, que para demostrar la exactitud del complejo de De Rham se necesita algún tipo de lema de Poincaré , cuya demostración a su vez utiliza la integración, y la integración requiere varias potencias divididas, que existen en la característica 0 pero no siempre en la característica p . Grothendieck resolvió este problema definiendo los objetos del sitio cristalino de X como engrosamientos aproximadamente infinitesimales de subconjuntos abiertos de Zariski de X , junto con una estructura de potencia dividida que proporciona las potencias divididas necesarias.
Trabajaremos sobre el anillo W n = W / p n W de vectores de Witt de longitud n sobre un cuerpo perfecto k de característica p >0. Por ejemplo, k podría ser el cuerpo finito de orden p , y W n es entonces el anillo Z / p n Z . (De manera más general, se puede trabajar sobre un esquema base S que tiene un haz fijo de ideales I con una estructura de potencia dividida.) Si X es un esquema sobre k , entonces el sitio cristalino de X relativo a W n , denotado Cris( X / W n ), tiene como pares de objetos U → T que consisten en una inmersión cerrada de un subconjunto abierto de Zariski U de X en algún W n -esquema T definido por un haz de ideales J , junto con una estructura de potencia dividida en J compatible con la de W n .
La cohomología cristalina de un esquema X sobre k se define como el límite inverso
dónde
es la cohomología del sitio cristalino de X / W n con valores en el haz de anillos O := O W n .
Un punto clave de la teoría es que la cohomología cristalina de un esquema suave X sobre k a menudo se puede calcular en términos de la cohomología algebraica de Rham de un levantamiento adecuado y suave de X a un esquema Z sobre W. Existe un isomorfismo canónico
de la cohomología cristalina de X con la cohomología de De Rham de Z sobre el esquema formal de W (un límite inverso de la hipercohomología de los complejos de formas diferenciales). A la inversa, la cohomología de De Rham de X puede recuperarse como el módulo de reducción p de su cohomología cristalina (después de tomar en cuenta Tor s más altos).
Si X es un esquema sobre S entonces el haz O X / S se define por O X / S ( T ) = anillo de coordenadas de T , donde escribimos T como abreviatura de un objeto U → T de Cris( X / S ).
Un cristal en el sitio Cris( X / S ) es un haz F de módulos O X / S que es rígido en el siguiente sentido:
Esto es similar a la definición de un conjunto cuasicoherente de módulos en la topología de Zariski.
Un ejemplo de cristal es el haz O X / S .
El término cristal asociado a la teoría, explicado en la carta de Grothendieck a Tate (1966), era una metáfora inspirada en ciertas propiedades de las ecuaciones diferenciales algebraicas . Estas habían desempeñado un papel en las teorías de cohomología p -ádica (precursoras de la teoría cristalina, introducidas en varias formas por Dwork , Monsky , Washnitzer, Lubkin y Katz ), particularmente en el trabajo de Dwork. Tales ecuaciones diferenciales pueden formularse con bastante facilidad por medio de las conexiones algebraicas de Koszul , pero en la teoría p -ádica el análogo de la continuación analítica es más misterioso (ya que los discos p -ádicos tienden a estar disjuntos en lugar de superponerse). Por decreto, un cristal tendría la "rigidez" y la "propagación" notables en el caso de la continuación analítica de funciones analíticas complejas. (Cf. también los espacios analíticos rígidos introducidos por John Tate , en la década de 1960, cuando estos asuntos se estaban debatiendo activamente).
