Orden (teoría del anillo)

En matemáticas , un orden en el sentido de la teoría de anillos es un subanillo de un anillo , tal que ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$

1. ${\displaystyle A}$es un álgebra de dimensión finita sobre el cuerpo de números racionales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
2. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$se extiende sobre , y ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
3. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$es una celosía en . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$

Las dos últimas condiciones se pueden expresar en términos menos formales: Aditivamente, es un grupo abeliano libre generado por una base para más . ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

De manera más general, para un dominio integral con campo fraccionario , un orden en un álgebra de dimensión finita es un subanillo del cual es una red completa ; es decir, es un módulo finito con la propiedad de que . ^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\otimes _{R}K=A}$

Cuando no es un anillo conmutativo , la idea de orden sigue siendo importante, pero los fenómenos son diferentes. Por ejemplo, los cuaterniones de Hurwitz forman un orden máximo en los cuaterniones con coordenadas racionales; no son los cuaterniones con coordenadas enteras en el sentido más obvio. Los órdenes máximos existen en general, pero no tienen por qué ser únicos: en general no existe un orden máximo, sino un número de órdenes máximos. Una clase importante de ejemplos es la de los anillos de grupos integrales . ${\displaystyle A}$

Ejemplos

Algunos ejemplos de órdenes son: ^[2]

• Si el anillo de la matriz está terminado , entonces el anillo de la matriz está terminado es un orden en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M_{n}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M_{n}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$
• Si es un dominio integral y una extensión finita separable de , entonces la clausura integral de in es un orden en . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$
• Si in es un elemento integral sobre , entonces el anillo polinómico es un orden en álgebra ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[a]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K[a]}$
• Si es el anillo de grupo de un grupo finito , entonces es un orden en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K[G]}$

Una propiedad fundamental de los -órdenes es que cada elemento de un -orden es integral . ^[3] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Si la clausura integral de in es de orden, entonces este resultado muestra que debe ser el orden máximo ^{[ aclaración necesaria ]} de in . Sin embargo, esta hipótesis no siempre se cumple: de hecho, ni siquiera es necesario que sea un anillo, e incluso si es un anillo (por ejemplo, cuando es conmutativo), no es necesario que sea una red. ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$

Teoría algebraica de números

El ejemplo principal es el caso en el que es un campo numérico y es su anillo de números enteros . En teoría algebraica de números hay ejemplos para cualquier campo distinto del racional de subanillos propios del anillo de números enteros que también son órdenes. Por ejemplo, en la extensión de campo de los racionales gaussianos sobre , la clausura integral de es el anillo de los enteros gaussianos y, por tanto, este es el único orden máximo : todos los demás órdenes están contenidos en él. Por ejemplo, podemos tomar el subanillo de números complejos de la forma , con y enteros. ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A=\mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a+2bi}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

La cuestión del orden máximo se puede examinar a nivel de campo local . Esta técnica se aplica en teoría algebraica de números y teoría de representación modular .

Ver también

• Orden de los cuaterniones de Hurwitz : un ejemplo de orden de anillos

Notas

1. Reiner (2003) pág. 108
2. Reiner (2003) págs. 108-109
3. Reiner (2003) pág. 110
4. Pohst y Zassenhaus (1989) p. 22

Referencias

• Pohst, M.; Zassenhaus, H. (1989). Teoría algorítmica de números algebraicos . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. vol. 30. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-33060-2. Zbl  0685.12001.
• Reiner, I. (2003). Órdenes máximas . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Series nuevas. vol. 28. Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-852673-3. Zbl  1024.16008.