Extensión separable

En la teoría de campos , una rama del álgebra , una extensión de campo algebraica se llama extensión separable si para cada , el polinomio mínimo de sobre F es un polinomio separable (es decir, su derivada formal no es el polinomio cero , o equivalentemente no tiene repetidos raíces en cualquier campo de extensión). ^[1] También existe una definición más general que se aplica cuando E no es necesariamente algebraica sobre F . Una extensión que no es separable se dice que es inseparable . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$ ${\displaystyle \alpha }$

Cada extensión algebraica de un cuerpo de característica cero es separable, y cada extensión algebraica de un cuerpo finito es separable. ^[2] De ello se deduce que la mayoría de las extensiones que se consideran en matemáticas son separables. Sin embargo, el concepto de separabilidad es importante, ya que la existencia de extensiones inseparables es el principal obstáculo para extender muchos teoremas demostrados en característica cero a características distintas de cero. Por ejemplo, el teorema fundamental de la teoría de Galois es un teorema sobre extensiones normales , que sigue siendo cierto en características distintas de cero sólo si se supone que las extensiones también son separables. ^[3]

El concepto opuesto, una extensión puramente inseparable , también ocurre naturalmente, ya que cada extensión algebraica puede descomponerse únicamente como una extensión puramente inseparable de una extensión separable. Una extensión algebraica de campos de característica p distinta de cero es una extensión puramente inseparable si y sólo si para cada , el polinomio mínimo de sobre F no es un polinomio separable o, de manera equivalente, para cada elemento x de E , hay un positivo entero k tal que . ^[4] ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \alpha \in E\setminus F}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x^{p^{k}}\in F}$

El ejemplo no trivial más simple de una extensión (puramente) inseparable son los campos de funciones racionales en el indeterminado x con coeficientes en el campo finito . El elemento tiene un polinomio mínimo y tiene una raíz múltiple p veces, como . Ésta es una extensión algebraica simple de grado p , as , pero no es una extensión normal ya que el grupo de Galois es trivial . ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(x)\supseteq F=\mathbb {F} _{p}(x^{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)}$ ${\displaystyle x\in E}$ ${\displaystyle f(X)=X^{p}-x^{p}\in F[X]}$ ${\displaystyle f'(X)=0}$ ${\displaystyle f(X)=(X-x)^{p}\in E[X]}$ ${\displaystyle E=F[x]}$ ${\displaystyle {\text{Gal}}(E/F)}$

Discusión informal

Se dice que un polinomio arbitrario f con coeficientes en algún campo F tiene raíces distintas o no tiene cuadrados si tiene raíces grados f en algún campo de extensión . Por ejemplo, el polinomio g ( X ) = X ² − 1 tiene precisamente grados  g = 2 raíces en el plano complejo ; es decir, 1 y −1 y, por tanto, tiene raíces distintas. Por otro lado, el polinomio h ( X ) = ( X − 2) ² , que es el cuadrado de un polinomio no constante, no tiene raíces distintas, ya que su grado es dos y 2 es su única raíz. ${\displaystyle E\supseteq F}$

Todo polinomio puede factorizarse en factores lineales sobre un cierre algebraico del cuerpo de sus coeficientes. Por tanto, el polinomio no tiene raíces distintas si y sólo si es divisible por el cuadrado de un polinomio de grado positivo. Este es el caso si y sólo si el máximo común divisor del polinomio y su derivada no es una constante. Por lo tanto, para probar si un polinomio está libre de cuadrados, no es necesario considerar explícitamente ninguna extensión de campo ni calcular las raíces.

En este contexto, el caso de los polinomios irreducibles requiere cierta cautela. A priori, puede parecer que ser divisible por un cuadrado es imposible para un polinomio irreducible , que no tiene divisor no constante excepto él mismo. Sin embargo, la irreducibilidad depende del campo ambiental, y un polinomio puede ser irreducible sobre F y reducible sobre alguna extensión de F. De manera similar, la divisibilidad por un cuadrado depende del campo ambiental. Si un polinomio irreducible f sobre F es divisible por un cuadrado sobre alguna extensión de campo, entonces (según la discusión anterior) el máximo común divisor de f y su derivada f ′ no es constante. Tenga en cuenta que los coeficientes de f ′ pertenecen al mismo campo que los de f , y el máximo común divisor de dos polinomios es independiente del campo ambiental, por lo que el máximo común divisor de f y f ′ tiene coeficientes en F . Dado que f es irreducible en F , este máximo común divisor es necesariamente el propio f . Debido a que el grado de f ′ es estrictamente menor que el grado de f , se deduce que la derivada de f es cero, lo que implica que la característica del campo es un número primo p , y f puede escribirse

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{pi}.}$

Un polinomio como éste, cuya derivada formal es cero, se dice que es inseparable . Se dice que los polinomios que no son inseparables son separables . Una extensión separable es una extensión que puede ser generada por elementos separables , es decir, elementos cuyos polinomios mínimos son separables.

Polinomios separables e inseparables

Un polinomio irreducible f en F [ X ] es separable si y sólo si tiene raíces distintas en cualquier extensión de F (es decir, si puede factorizarse en factores lineales distintos sobre una clausura algebraica de F ) . ^[5] Sea f en F [ X ] un polinomio irreducible y f ' su derivada formal . Entonces las siguientes son condiciones equivalentes para que el polinomio irreducible f sea separable:

• Si E es una extensión de F en la que f es un producto de factores lineales, entonces ningún cuadrado de estos factores divide a f en E [ X ] (es decir, f no tiene cuadrados sobre E ). ^[6]
• Existe una extensión E de F tal que f tiene raíces distintas por pares en grados ( f ) en E. ^[6]
• La constante 1 es un polinomio máximo común divisor de f y f ' . ^[7]
• La derivada formal f ' de f no es el polinomio cero. ^[8]
• O la característica de F es cero, o la característica es p y f no tiene la forma ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{pi}.}$

Dado que la derivada formal de un polinomio de grado positivo puede ser cero sólo si el campo tiene característica prima, para que un polinomio irreducible no sea separable, sus coeficientes deben estar en un campo de característica prima. De manera más general, un polinomio irreducible (distinto de cero) f en F [ X ] no es separable, si y sólo si la característica de F es un número primo (distinto de cero) p , y f ( X ) = g ( X ^p ) para algún polinomio irreducible g en F [ X ] . ^[9] Mediante la aplicación repetida de esta propiedad, se deduce que, de hecho, para un número entero no negativo n y algún polinomio irreducible separable g en F [ X ] (donde se supone que F tiene una característica prima p ). ^[10] ${\displaystyle f(X)=g(X^{p^{n}})}$

Si el endomorfismo de Frobenius de F no es sobreyectivo, hay un elemento que no es una p -ésima potencia de un elemento de F. En este caso, el polinomio es irreducible e inseparable. Por el contrario, si existe un polinomio irreducible (distinto de cero) inseparable en F [ X ] , entonces el endomorfismo de Frobenius de F no puede ser un automorfismo , ya que, de lo contrario, tendríamos para some , y el polinomio f factorizaría como ^{[11 ]} ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle X^{p}-a}$ ${\displaystyle \textstyle f(X)=\sum a_{i}X^{ip}}$ ${\displaystyle a_{i}=b_{i}^{p}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum a_{i}X^{ip}=\left(\sum b_{i}X^{i}\right)^{p}.}$

Si K es un cuerpo finito de característica prima p , y si X es un indeterminado , entonces el cuerpo de funciones racionales sobre K , K ( X ) , es necesariamente imperfecto , y el polinomio f ( Y )= Y ^p − X es inseparable (su derivada formal en Y es 0). ^[1] De manera más general, si F es cualquier campo de característica prima (distinta de cero) para el cual el endomorfismo de Frobenius no es un automorfismo, F posee una extensión algebraica inseparable. ^[12]

Un campo F es perfecto si y sólo si todos los polinomios irreducibles son separables. De ello se deduce que F es perfecto si y sólo si F tiene la característica cero o F tiene la característica prima (distinta de cero) p y el endomorfismo de Frobenius de F es un automorfismo. Esto incluye cada campo finito.

Elementos separables y extensiones separables.

Sea una extensión de campo. Un elemento es separable sobre F si es algebraico sobre F , y su polinomio mínimo es separable (el polinomio mínimo de un elemento es necesariamente irreducible). ${\displaystyle E\supseteq F}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$

Si son separables por F , entonces , y son separables por F . ${\displaystyle \alpha ,\beta \in E}$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\displaystyle \alpha \beta }$ ${\displaystyle 1/\alpha }$

Así , el conjunto de todos los elementos de E separables sobre F forma un subcampo de E , llamado cierre separable de F en E. ^[13]

La clausura separable de F en una clausura algebraica de F se llama simplemente clausura separable de F. Al igual que la clausura algebraica, es única hasta un isomorfismo y, en general, este isomorfismo no es único.

Una extensión de campo es separable , si E es el cierre separable de F en E. Este es el caso si y sólo si E se genera sobre F mediante elementos separables. ${\displaystyle E\supseteq F}$

Si son extensiones de campo, entonces E es separable sobre F si y solo si E es separable sobre L y L es separable sobre F . ^[14] ${\displaystyle E\supseteq L\supseteq F}$

Si es una extensión finita (es decir, E es un F - espacio vectorial de dimensión finita ), entonces lo siguiente es equivalente. ${\displaystyle E\supseteq F}$

1. E es separable sobre F .
2. ${\displaystyle E=F(a_{1},\ldots ,a_{r})}$donde son elementos separables de E . ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$
3. ${\displaystyle E=F(a)}$donde a es un elemento separable de E .
4. Si K es una clausura algebraica de F , entonces hay exactamente homomorfismos de campo de E en K que fijan F . ${\displaystyle [E:F]}$
5. Para cualquier extensión normal K de F que contenga E , entonces hay exactamente homomorfismos de campo de E en K que fijan F . ${\displaystyle [E:F]}$

La equivalencia de 3. y 1. se conoce como teorema de los elementos primitivos o teorema de Artin sobre los elementos primitivos . Las propiedades 4. y 5. son la base de la teoría de Galois y, en particular, del teorema fundamental de la teoría de Galois .

Extensiones separables dentro de extensiones algebraicas

Sea una extensión algebraica de campos de característica p . La clausura separable de F en E es Para cada elemento existe un entero positivo k tal que y por lo tanto E es una extensión puramente inseparable de S. De ello se deduce que S es el único campo intermedio que es separable sobre F y sobre el cual E es puramente inseparable . ^[15] ${\displaystyle E\supseteq F}$ ${\displaystyle S=\{\alpha \in E\mid \alpha {\text{ is separable over }}F\}.}$ ${\displaystyle x\in E\setminus S}$ ${\displaystyle x^{p^{k}}\in S,}$

Si es una extensión finita , su grado [ E  : F ] es el producto de los grados [ S  : F ] y [ E  : S ] . La primera, a menudo denominada [ E  : F ] _sep , se conoce como la parte separable de [ E  : F ] , o como la ${\displaystyle E\supseteq F}$ grado separable de E / F ; a este último se le conoce como laparte inseparabledel título o lagrado inseparable .^[16]El grado inseparable es 1 en característica cero y una potencia de p en característica p > 0.^[17]

Por otro lado, una extensión algebraica arbitraria puede no poseer una extensión intermedia K que sea puramente inseparable de F y de la cual E sea separable . Sin embargo, tal extensión intermedia puede existir si, por ejemplo, es una extensión normal de grado finito (en este caso, K es el campo fijo del grupo de Galois de E sobre F ). Supongamos que existe tal extensión intermedia y [ E  : F ] es finita, entonces [ S  : F ] = [ E  : K ] , donde S es el cierre separable de F en E. ^[18] Las pruebas conocidas de esta igualdad utilizan el hecho de que if es una extensión puramente inseparable, y si f es un polinomio irreducible separable en F [ X ] , entonces f permanece irreducible en K [ X ] ^[19] ). Esta igualdad implica que, si [ E  : F ] es finita y U es un cuerpo intermedio entre F y E , entonces [ E  : F ] _sep = [ E  : U ] _sep ⋅[ U  : F ] _sep . ^[20] ${\displaystyle E\supseteq F}$ ${\displaystyle E\supseteq F}$ ${\displaystyle K\supseteq F}$

El cierre separable F ^sep de un campo F es el cierre separable de F en un cierre algebraico de F . Es la extensión máxima de Galois de F . Por definición, F es perfecta si y sólo si sus cierres separables y algebraicos coinciden.

Separabilidad de extensiones trascendentales.

Pueden surgir problemas de separabilidad cuando se trata de extensiones trascendentales . Este es típicamente el caso de la geometría algebraica sobre un campo de característica prima, donde el campo funcional de una variedad algebraica tiene un grado de trascendencia sobre el campo fundamental que es igual a la dimensión de la variedad.

Para definir la separabilidad de una extensión trascendental, es natural utilizar el hecho de que cada extensión de campo es una extensión algebraica de una extensión puramente trascendental . Esto lleva a la siguiente definición.

Una base de trascendencia separante de una extensión es una base de trascendencia T de E tal que E es una extensión algebraica separable de F ( T ) . Una extensión de campo generada finitamente es separable si y sólo tiene una base de trascendencia separadora; una extensión que no se genera de forma finita se llama separable si cada subextensión generada de forma finita tiene una base de trascendencia separadora. ^[21] ${\displaystyle E\supseteq F}$

Sea una extensión de campo del exponente característico p (es decir, p = 1 en la característica cero y, en caso contrario, p es la característica). Las siguientes propiedades son equivalentes: ${\displaystyle E\supseteq F}$

• E es una extensión separable de F ,
• ${\displaystyle E^{p}}$y F son linealmente disjuntos sobre ${\displaystyle F^{p},}$
• ${\displaystyle F^{1/p}\otimes _{F}E}$esta reducido ,
• ${\displaystyle L\otimes _{F}E}$se reduce para cada extensión de campo L de E ,

donde denota el producto tensorial de campos , es el campo de las p -ésimas potencias de los elementos de F (para cualquier campo F ), y es el campo obtenido al unir a F la p -ésima raíz de todos sus elementos (ver Álgebra separable para detalles). ${\displaystyle \otimes _{F}}$ ${\displaystyle F^{p}}$ ${\displaystyle F^{1/p}}$

Criterios diferenciales

La separabilidad se puede estudiar con la ayuda de derivaciones . Sea E una extensión de campo generada finitamente de un campo F . Denotando el E -espacio vectorial de las F -derivaciones lineales de E , se tiene ${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$

${\displaystyle \dim _{E}\operatorname {Der} _{F}(E,E)\geq \operatorname {tr.deg} _{F}E,}$

y la igualdad se cumple si y sólo si E es separable sobre F (aquí "tr.deg" denota el grado de trascendencia ).

En particular, si es una extensión algebraica, entonces si y sólo si es separable. ^[22] ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)=0}$ ${\displaystyle E/F}$

Sea una base de y . Entonces es algebraico separable si y sólo si la matriz es invertible. En particular, cuando , esta matriz es invertible si y sólo si es una base de trascendencia separadora. ${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{m}}$ ${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{m})}$ ${\displaystyle D_{i}(a_{j})}$ ${\displaystyle m=\operatorname {tr.deg} _{F}E}$ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{m}\}}$

Notas

1. Isaacs, pág. 281
2. Isaacs, Teorema 18.11, pág. 281
3. Isaacs, Teorema 18.13, pág. 282
4. Isaacs, pag. 298
5. Isaacs, pag. 280
6. Isaacs, Lema 18.7, pág. 280
7. Isaacs, Teorema 19.4, pág. 295
8. Isaacs, Corolario 19.5, p. 296
9. Isaacs, Corolario 19.6, p. 296
10. Isaacs, Corolario 19.9, p. 298
11. Isaacs, Teorema 19.7, pág. 297
12. Isaacs, pag. 299
13. Isaacs, Lema 19.15, pág. 300
14. Isaacs, Corolario 18.12, p. 281 y Corolario 19.17, p. 301
15. Isaacs, Teorema 19.14, pág. 300
16. Isaacs, pag. 302
17. Lang 2002, Corolario V.6.2
18. Isaacs, Teorema 19.19, pág. 302
19. Isaacs, Lema 19.20, pág. 302
20. Isaacs, Corolario 19.21, p. 303
21. Fried y Jardín (2008) p.38
22. Fried y Jardín (2008) p.49

Referencias

• Borel, A. Grupos algebraicos lineales , 2ª ed.
• PM Cohn (2003). Álgebra básica
• Frito, Michael D.; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. vol. 11 (3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001.
• I. Martín Isaacs (1993). Álgebra, un curso de posgrado (1ª ed.). Compañía editorial Brooks/Cole. ISBN 0-534-19002-2.
• Kaplansky, Irving (1972). Campos y anillos . Conferencias de matemáticas en Chicago (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Chicago. págs. 55–59. ISBN 0-226-42451-0. Zbl  1001.16500.
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, señor  1878556
• M. Nagata (1985). Teoría de campos conmutativos: nueva edición, Shokabo. (japonés) [1]
• Silverman, José (1993). La aritmética de curvas elípticas . Saltador. ISBN 0-387-96203-4.

enlaces externos

• "extensión separable de un campo k", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]