extensión de galois

Extensión de campo algebraico

En matemáticas , una extensión de Galois es una extensión de campo algebraica E / F que es normal y separable ; ^[1] o de manera equivalente, E / F es algebraico, y el campo fijado por el grupo de automorfismo Aut( E / F ) es precisamente el campo base F. La importancia de ser una extensión de Galois es que la extensión tiene un grupo de Galois y obedece al teorema fundamental de la teoría de Galois . ^[a]

Un resultado de Emil Artin permite construir extensiones de Galois de la siguiente manera: si E es un campo dado y G es un grupo finito de automorfismos de E con campo fijo F , entonces E / F es una extensión de Galois. ^[2]

La propiedad de que una extensión sea Galois se comporta bien con respecto a la composición del campo y la intersección . ^[3]

Caracterización de las extensiones de Galois.

Un importante teorema de Emil Artin establece que para una extensión finita cada uno de los siguientes enunciados es equivalente al enunciado de Galois: ${\displaystyle E/F,}$ ${\displaystyle E/F}$

• ${\displaystyle E/F}$Es una extensión normal y una extensión separable .
• ${\displaystyle E}$es un campo de división de un polinomio separable con coeficientes en ${\displaystyle F.}$
• ${\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/F)|=[E:F],}$es decir, el número de automorfismos es igual al grado de extensión.

Otras declaraciones equivalentes son:

• Todo polinomio irreducible con al menos una raíz se divide y es separable. ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle |\!\operatorname {Aut} (E/F)|\geq [E:F],}$es decir, el número de automorfismos es al menos el grado de extensión.
• ${\displaystyle F}$es el campo fijo de un subgrupo de ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E).}$
• ${\displaystyle F}$es el campo fijo de ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}$
• Existe una correspondencia uno a uno entre los subcampos de y los subgrupos de ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}$

Una extensión de campo infinita es Galois si y sólo si la unión de subextensiones finitas de Galois está indexada por un conjunto de índices (infinito) , es decir, y el grupo de Galois es un límite inverso donde el sistema inverso está ordenado por inclusión de campos . ^[4] ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{i}/F}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle E=\bigcup _{i\in I}E_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)=\varprojlim _{i\in I}{\operatorname {Aut} (E_{i}/F)}}$ ${\displaystyle E_{i}\subset E_{j}}$

Ejemplos

Hay dos formas básicas de construir ejemplos de extensiones de Galois.

• Tome cualquier campo , cualquier subgrupo finito de , y sea el campo fijo. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$ ${\displaystyle F}$
• Tome cualquier campo , cualquier polinomio separable , y sea su campo de división . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle E}$

Al lado del campo de números racionales, la raíz cuadrada de 2 da una extensión de Galois, mientras que al lado de la raíz cúbica de 2 se obtiene una extensión que no es de Galois. Ambas extensiones son separables porque tienen característica cero . El primero de ellos es el campo divisorio de ; el segundo tiene cierre normal que incluye las raíces cúbicas complejas de la unidad , por lo que no es un campo de división. De hecho, no tiene más automorfismo que el de identidad, porque está contenido en los números reales y tiene una sola raíz real. Para ejemplos más detallados, consulte la página sobre el teorema fundamental de la teoría de Galois . ${\displaystyle x^{2}-2}$ ${\displaystyle x^{3}-2}$

Una clausura algebraica de un campo arbitrario es Galois sobre si y sólo si es un campo perfecto . ${\displaystyle {\bar {K}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Notas

1. Consulte el artículo Grupo Galois para obtener definiciones de algunos de estos términos y algunos ejemplos.

Citas

1. Lang 2002, pag. 262.
2. Lang 2002, pag. 264, Teorema 1.8.
3. Milne 2022, pag. 40 y siguientes, cap. 3 y 7.
4. Milne 2022, pag. 102, ejemplo 7.26.

Referencias

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, señor  1878556

Otras lecturas

• Artín, Emil (1998) [1944]. Teoría de Galois . Editado y con un capítulo complementario de Arthur N. Milgram. Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-62342-4. SEÑOR  1616156.
• Bewersdorff, Jörg (2006). Teoría de Galois para principiantes . Biblioteca de Matemáticas para Estudiantes. vol. 35. Traducido de la segunda edición alemana (2004) de David Kramer. Sociedad Matemática Estadounidense. doi :10.1090/stml/035. ISBN 0-8218-3817-2. SEÑOR  2251389. S2CID  118256821.
• Edwards, Harold M. (1984). Teoría de Galois . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 101. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90980-X. SEÑOR  0743418. (Artículo original de Galois, con amplios antecedentes y comentarios).
• Funkhouser, H. Gray (1930). "Un breve relato de la historia de las funciones simétricas de raíces de ecuaciones". Mensual Matemático Estadounidense . 37 (7). El American Mathematical Monthly, vol. 37, núm. 7: 357–365. doi :10.2307/2299273. JSTOR  2299273.
• "Teoría de Galois", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Jacobson, Nathan (1985). Álgebra básica I (2ª ed.). WH Freeman y compañía. ISBN 0-7167-1480-9. (El capítulo 4 ofrece una introducción al enfoque de la teoría de campos de la teoría de Galois.)
• Janelidze, G.; Borceux, Francisco (2001). Teorías de Galois . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-80309-0.(Este libro presenta al lector la teoría de Galois de Grothendieck y algunas generalizaciones que conducen a los grupoides de Galois ).
• Lang, Serge (1994). Teoría algebraica de números . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 110 (Segunda ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4612-0853-2. ISBN 978-0-387-94225-4. SEÑOR  1282723.
• Póstnikov, Mikhail Mikhaĭlovich (2004). Fundamentos de la teoría de Galois . Con prólogo de PJ Hilton. Reimpresión de la edición de 1962. Traducido del original ruso de 1960 por Ann Swinfen. Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43518-0. SEÑOR  2043554.
• Milne, James S. (2022). Teoría de Fields y Galois (v5.10).
• Rotman, José (1998). Teoría de Galois . Universitext (Segunda ed.). Saltador. doi :10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7. SEÑOR  1645586.
• Volklein, Helmut (1996). Grupos como grupos de Galois: una introducción . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 53. Prensa de la Universidad de Cambridge . doi :10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5. SEÑOR  1405612.
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Álgebra moderna (en alemán). Berlín: Springer.. Traducción al inglés (de la segunda edición revisada): Álgebra moderna . Nueva York: Frederick Ungar. 1949. (Posteriormente publicado en inglés por Springer con el título "Álgebra".)
• Pop, Florián (2001). "(Algunas) nuevas tendencias en la teoría y la aritmética de Galois" (PDF) .