Campo compuesto (matemáticas)

Un campo compuesto o compositum de campos es objeto de estudio en la teoría de campos . Sea K un campo y sean , subcampos de K . Entonces el compuesto (interno) ^[1] de y es el campo definido como la intersección de todos los subcampos de K que contienen tanto y . El compuesto se denomina comúnmente . ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}E_{2}}$

Propiedades

De manera equivalente a las intersecciones, podemos definir el compuesto como el subcampo más pequeño ^[2] de K que contiene tanto como . Mientras que para la definición vía intersección la buena definición depende únicamente de la propiedad de que las intersecciones de campos son en sí mismos campos, aquí se incluyen dos afirmaciones auxiliares. Que 1. existen subcampos mínimos de K que incluyen y y 2. que dicho subcampo mínimo es único y, por lo tanto, con justicia se le llama el más pequeño . ${\displaystyle E_{1}E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$

También se puede definir usando el campo de fracciones.

${\displaystyle E_{1}E_{2}=E_{1}(E_{2})=E_{2}(E_{1}),}$

¿Dónde está el conjunto de expresiones totalmente racionales en un número finito de elementos de ? ^[3] ${\displaystyle F(S)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$

Sean entonces un subcampo común y una extensión de Galois y ambos también son Galois y hay un isomorfismo dado por restricción ${\displaystyle L\subseteq E_{1}\cap E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}/L}$ ${\displaystyle E_{1}E_{2}/E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}/(E_{1}\cap E_{2})}$

${\displaystyle {\text{Gal}}(E_{1}E_{2}/E_{2})\rightarrow {\text{Gal}}(E_{1}/(E_{1}\cap E_{2})),\sigma \mapsto \sigma |_{E_{1}}.}$

Para extensiones de campo finitas esto se puede encontrar explícitamente en Milne ^[4] y para extensiones infinitas esto se sigue, ya que las extensiones de Galois infinitas son precisamente aquellas extensiones que son uniones de un conjunto (infinito) de extensiones de Galois finitas. ^[5]

Si además es una extensión de Galois, entonces ambos también son Galois y el mapa. ${\displaystyle E_{2}/L}$ ${\displaystyle E_{1}E_{2}/L}$ ${\displaystyle (E_{1}\cap E_{2})/L}$

${\displaystyle \psi :{\text{Gal}}(E_{1}E_{2}/L)\rightarrow {\text{Gal}}(E_{1}/L)\times {\text{Gal}}(E_{2}/L),\sigma \mapsto (\sigma |_{E_{1}},\sigma |_{E_{2}})}$

es un homomorfismo de grupo que es un isomorfismo en el subgrupo

${\displaystyle H=\{(\sigma _{1},\sigma _{2}):\sigma _{1}|_{E_{1}\cap E_{2}}=\sigma _{2}|_{E_{1}\cap E_{2}}\}={\text{Gal}}(E_{1}/L)\times _{{\text{Gal}}((E_{1}\cap E_{2})/L)}{\text{Gal}}(E_{2}/L)\subseteq {\text{Gal}}(E_{1}/L)\times {\text{Gal}}(E_{2}/L).}$

Véase Milne. ^[6]

Ambas propiedades son particularmente útiles y sus declaraciones se simplifican en consecuencia en este caso especial. En particular, en este caso siempre hay un isomorfismo. ${\displaystyle L=E_{1}\cap E_{2}}$ ${\displaystyle \psi }$

Compuesto externo

Cuando y no se consideran subcampos de un campo común, entonces el compuesto (externo) se define utilizando el producto tensorial de los campos . ^[7] Tenga en cuenta que se debe tener cierto cuidado al elegir el subcampo común sobre el cual se realiza este producto tensorial; de lo contrario, el producto tensorial podría resultar ser solo un álgebra que no es un campo. ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$

Generalizaciones

Si es un conjunto de subcampos de un campo fijo K indexado por el conjunto I , el campo compuesto generalizado ^[8] se puede definir mediante la intersección ${\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{E_{i}:i\in I\right\}}$

${\displaystyle \bigvee _{i\in I}E_{i}=\bigcap _{F\subseteq K{\text{ s.t. }}\forall i\in I:E_{i}\subseteq F}F.}$

Notas

1. Romano, pag. 42.
2. Romano, pag. 42.
3. Lubin, Jonathan. "Los elementos del campo compuesto FK".
4. Milne, pág. 40; tenga en cuenta la definición preliminar de Galois como finito en la p. 37
5. Milne, pág. 93 y 99
6. Milne, pág. 41 y 93
7. "Compositum", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
8. Romano, pag. 42.

Referencias

• Romano, Steven (2006). Teoría del campo. GTM. vol. 158. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-27677-9., especialmente el capítulo 2
• "Compositum", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Milne, James S. (2022). Teoría de Fields y Galois (v5.10).