Derivada formal

En matemáticas , la derivada formal es una operación sobre elementos de un anillo polinomial o un anillo de series de potencias formales que imita la forma de la derivada del cálculo . Aunque parecen similares, la ventaja algebraica de una derivada formal es que no se basa en la noción de límite , que en general es imposible de definir para un anillo . Muchas de las propiedades de la derivada son ciertas para la derivada formal, pero algunas, especialmente aquellas que hacen enunciados numéricos, no lo son.

La diferenciación formal se utiliza en álgebra para probar múltiples raíces de un polinomio .

Definición

Fijar un anillo (no necesariamente conmutativo) y dejar ser el anillo de polinomios sobre . (Si no es conmutativa, esta es el álgebra libre sobre una única variable indeterminada). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A=R[x]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Entonces la derivada formal es una operación sobre elementos de , donde si ${\displaystyle A}$

${\displaystyle f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}$

entonces su derivada formal es

${\displaystyle f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +ia_{i}x^{i-1}+\cdots +a_{1}.}$

En la definición anterior, para cualquier número entero no negativo y , se define como es habitual en un anillo: (con if ). ^[1] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle ir}$ ${\displaystyle ir=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{i{\text{ times}}}}$ ${\displaystyle ir=0}$ ${\displaystyle i=0}$

Esta definición también funciona incluso si no tiene una identidad multiplicativa (es decir, es un rng ). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Definición axiomática alternativa

También se puede definir axiomáticamente la derivada formal como el mapa que satisface las siguientes propiedades. ${\displaystyle (\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]}$

1. ${\displaystyle r'=0}$para todos ${\displaystyle r\in R\subset R[x].}$
2. El axioma de normalización, ${\displaystyle x'=1.}$
3. El mapa conmuta con la operación de suma en el anillo polinómico, ${\displaystyle (a+b)'=a'+b'.}$
4. El mapa satisface la ley de Leibniz con respecto a la operación de multiplicación del anillo polinomial, ${\displaystyle (a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.}$

Se puede demostrar que esta definición axiomática produce un mapa bien definido que respeta todos los axiomas de anillo habituales.

La fórmula anterior (es decir, la definición de la derivada formal cuando el anillo de coeficientes es conmutativo) es una consecuencia directa de los axiomas antes mencionados:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{i}a_{i}x^{i}\right)'&=\sum _{i}\left(a_{i}x^{i}\right)'\\&=\sum _{i}\left((a_{i})'x^{i}+a_{i}\left(x^{i}\right)'\right)\\&=\sum _{i}\left(0x^{i}+a_{i}\left(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}\right)\right)\\&=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}\\&=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.\end{aligned}}}$

Propiedades

Se puede comprobar que:

• La diferenciación formal es lineal: para dos polinomios cualesquiera f ( x ), g ( x ) en R [ x ] y elementos r , s de R tenemos

${\displaystyle (r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).}$

• La derivada formal satisface la regla del producto :

${\displaystyle (f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).}$

Tenga en cuenta el orden de los factores; cuando R no es conmutativo esto es importante.

Estas dos propiedades hacen de D una derivación de A (consulte el módulo de formas diferenciales relativas para una discusión sobre una generalización).

Tenga en cuenta que la derivada formal no es un homomorfismo de anillo , porque la regla del producto es diferente de decir (y no es el caso) que . Sin embargo, es un homomorfismo (mapa lineal) de R -módulos , según las reglas anteriores. ${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g'}$

Aplicación para encontrar factores repetidos.

Como en el cálculo, la derivada detecta múltiples raíces. Si R es un campo entonces R [ x ] es un dominio euclidiano , y en esta situación podemos definir multiplicidad de raíces; para cada polinomio f ( x ) en R [ x ] y cada elemento r de R , existe un entero no negativo m _r y un polinomio g ( x ) tal que

${\displaystyle f(x)=(x-r)^{m_{r}}g(x)}$

donde g ( r )  ≠  0. m _r es la multiplicidad de r como raíz de f . De la regla de Leibniz se deduce que en esta situación, m _r es también el número de diferenciaciones que se deben realizar en f ( x ) antes de que r ya no sea una raíz del polinomio resultante. La utilidad de esta observación es que aunque en general no todo polinomio de grado n en R [ x ] tiene n raíces contando la multiplicidad (este es el máximo, según el teorema anterior), podemos pasar a extensiones de campo en las que esto es cierto ( es decir, cierres algebraicos ). Una vez que lo hagamos , podemos descubrir una raíz múltiple que no era una raíz en absoluto simplemente sobre R. Por ejemplo, si R es el cuerpo finito con tres elementos, el polinomio

${\displaystyle f(x)\,=\,x^{6}+1}$

no tiene raíces en R ; sin embargo, su derivada formal ( ) es cero ya que 3 = 0 en R y en cualquier extensión de R , por lo que cuando pasamos a la clausura algebraica tiene una raíz múltiple que no podría haber sido detectada por factorización en el propio R. Así, la diferenciación formal permite una noción efectiva de multiplicidad. Esto es importante en la teoría de Galois , donde se hace la distinción entre extensiones de campo separables (definidas por polinomios sin raíces múltiples) y extensiones inseparables. ${\displaystyle f'(x)\,=\,6x^{5}}$

Correspondencia a la derivada analítica

Cuando el anillo R de escalares es conmutativo, existe una definición alternativa y equivalente de la derivada formal, que se parece a la que se ve en el cálculo diferencial. El elemento Y–X del anillo R [X,Y] divide Y ⁿ – X ⁿ para cualquier entero no negativo n y, por lo tanto, divide f (Y) – f (X) para cualquier polinomio f en un indeterminado. Si el cociente en R [X,Y] se denota por g , entonces

${\displaystyle g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{Y-X}}.}$

Entonces no es difícil verificar que g (X,X) (en R [X]) coincide con la derivada formal de f tal como se definió anteriormente.

Esta formulación de la derivada funciona igualmente bien para una serie de potencias formal , siempre que el anillo de coeficientes sea conmutativo.

En realidad, si la división en esta definición se realiza en la clase de funciones continuas en , recuperará la definición clásica de derivada. Si se lleva a cabo en la clase de funciones continuas en ambos y , obtenemos una diferenciabilidad uniforme y la función será continuamente diferenciable. Del mismo modo, al elegir diferentes clases de funciones (por ejemplo, la clase de Lipschitz), obtenemos diferentes tipos de diferenciabilidad. De esta manera, la diferenciación pasa a formar parte del álgebra de funciones. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Ver también

• Derivado
• Dominio euclidiano
• Módulo de formas diferenciales relativas.
• Teoría de Galois
• Serie de potencias formales
• Derivado de Pincherle

Referencias

1. John B. Fraleigh; Víctor J. Katz (2002). Un primer curso de álgebra abstracta . Pearson. pag. 443.

Fuentes

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, SEÑOR  1878556, Zbl  0984.00001
• Michael Livshits, podrías simplificar el cálculo, arXiv:0905.3611v1