Curva elíptica supersingular

Concepto matemático

En geometría algebraica , las curvas elípticas supersingulares forman una cierta clase de curvas elípticas sobre un campo de característica p  > 0 con anillos de endomorfismo inusualmente grandes . Las curvas elípticas sobre campos de este tipo que no son supersingulares se denominan ordinarias y estas dos clases de curvas elípticas se comportan de manera fundamentalmente diferente en muchos aspectos. Hasse (1936) descubrió las curvas elípticas supersingulares durante su trabajo sobre la hipótesis de Riemann para las curvas elípticas al observar que las curvas elípticas características positivas podían tener anillos de endomorfismo de rango 4 inusualmente grandes, y Deuring (1941) desarrolló su teoría básica.

El término "supersingular" no tiene nada que ver con puntos singulares de curvas , y todas las curvas elípticas supersingulares son no singulares. Proviene de la frase " valores singulares del j-invariante" utilizada para valores del j-invariante para los cuales una curva elíptica compleja tiene multiplicación compleja . Las curvas elípticas complejas con multiplicación compleja son aquellas para las cuales el anillo de endomorfismos tiene el rango máximo posible 2. En característica positiva es posible que el anillo de endomorfismos sea incluso más grande: puede ser un orden en un álgebra de cuaterniones de dimensión 4, en cuyo caso la curva elíptica es supersingular. Los primos p tales que cada curva elíptica supersingular en característica p se puede definir sobre el subcuerpo de primos en lugar de se llaman primos supersingulares . ${\displaystyle F_{p}}$ ${\displaystyle F_{p^{m}}}$

Definición

Se han utilizado muchas formas diferentes pero equivalentes de definir curvas elípticas supersingulares. A continuación se indican algunas de ellas. Sea un cuerpo con cierre algebraico y E una curva elíptica sobre K . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$

• Los puntos con valores tienen la estructura de un grupo abeliano . Para cada n, tenemos una función de multiplicación . Su núcleo se denota por . Ahora supongamos que la característica de K es p  > 0. Entonces se puede demostrar que ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle E({\overline {K}})}$ ${\displaystyle [n]:E\to E}$ ${\displaystyle E[n]}$

${\displaystyle E[p^{r}]({\overline {K}})\cong {\begin{cases}0&{\mbox{or}}\\\mathbb {Z} /p^{r}\mathbb {Z} \end{cases}}}$

para r = 1, 2, 3, ... En el primer caso, E se llama supersingular . En caso contrario, se llama ordinaria . En otras palabras, una curva elíptica es supersingular si y solo si el grupo de puntos geométricos de orden p es trivial.

• Las curvas elípticas supersingulares tienen muchos endomorfismos sobre el cierre algebraico en el sentido de que una curva elíptica es supersingular si y solo si su álgebra de endomorfismos (sobre ) es un orden en un álgebra de cuaterniones. Por lo tanto, su álgebra de endomorfismos (sobre ) tiene rango 4, mientras que el grupo de endomorfismos de cualquier otra curva elíptica tiene solo rango 1 o 2. El anillo de endomorfismos de una curva elíptica supersingular puede tener rango menor que 4, y puede ser necesario tomar una extensión finita del cuerpo base K para hacer que el rango del anillo de endomorfismos sea 4. En particular, el anillo de endomorfismos de una curva elíptica sobre un cuerpo de orden primo nunca es de rango 4, incluso si la curva elíptica es supersingular. ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$
• Sea G el grupo formal asociado a  E . Como K es de característica positiva, podemos definir su altura ht( G ), que es 2 si y solo si E es supersingular y en caso contrario es 1.
• Tenemos un morfismo de Frobenius , que induce un mapa en cohomología ${\displaystyle F:E\to E}$

${\displaystyle F^{*}:H^{1}(E,{\mathcal {O}}_{E})\to H^{1}(E,{\mathcal {O}}_{E})}$.

La curva elíptica E es supersingular si y sólo si es igual a 0. ${\displaystyle F^{*}}$

• Tenemos un operador de Verschiebung , que induce un mapa en las 1-formas globales ${\displaystyle V:E\to E}$

${\displaystyle V^{*}:H^{0}(E,\Omega _{E}^{1})\to H^{0}(E,\Omega _{E}^{1})}$.

La curva elíptica E es supersingular si y sólo si es igual a 0. ${\displaystyle V^{*}}$

• Una curva elíptica es supersingular si y sólo si su invariante de Hasse es 0.
• Una curva elíptica es supersingular si y sólo si el esquema de grupo de puntos de orden p está conexo.
• Una curva elíptica es supersingular si y sólo si el dual de la función de Frobenius es puramente inseparable.
• Una curva elíptica es supersingular si y sólo si el mapa de "multiplicación por p " es puramente inseparable y el j -invariante de la curva se encuentra en una extensión cuadrática del campo primo de K , un campo finito de orden p ² .
• Supongamos que E está en forma de Legendre , definida por la ecuación , y p es impar. Entonces, para , E es supersingular si y solo si la suma ${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0,1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose {i}}^{2}\lambda ^{i}}$

se desvanece, donde . Usando esta fórmula, se puede demostrar que solo hay un número finito de curvas elípticas supersingulares sobre K (hasta el isomorfismo). ${\displaystyle n=(p-1)/2}$

• Supóngase que E se da como una curva cúbica en el plano proyectivo dado por un polinomio cúbico homogéneo f ( x , y , z ). Entonces E es supersingular si y solo si el coeficiente de ( xyz ) ^{p –1} en f ^{p –1} es cero.
• Si el campo K es un campo finito de orden q , entonces una curva elíptica sobre K es supersingular si y sólo si la traza del endomorfismo de Frobenius de potencia q es congruente con cero módulo p .

Cuando q = p es un primo mayor que 3 esto es equivalente a tener la traza de Frobenius igual a cero (por el límite de Hasse ); esto no se cumple para p = 2 o 3.

Ejemplos

• Si K es un campo de característica 2, toda curva está definida por una ecuación de la forma

${\displaystyle y^{2}+a_{3}y=x^{3}+a_{4}x+a_{6}}$

con un ₃ distinto de cero es una curva elíptica supersingular y, a la inversa, cada curva supersingular es isomorfa a una de esta forma (véase Washington 2003, pág. 122).

• Sobre el campo con 2 elementos cualquier curva elíptica supersingular es isomorfa a exactamente una de las curvas elípticas supersingulares

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}+x+1}$

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}+1}$

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}+x}$

con 1, 3 y 5 puntos. Esto proporciona ejemplos de curvas elípticas supersingulares sobre un campo primo con diferentes cantidades de puntos.

• Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 2 existe (salvo isomorfismo) exactamente una curva elíptica supersingular, dada por

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}}$,

con j -invariante 0. Su anillo de endomorfismos es el anillo de cuaterniones de Hurwitz , generado por los dos automorfismos y donde es una raíz cúbica primitiva de la unidad. Su grupo de automorfismos es el grupo de unidades de los cuaterniones de Hurwitz, que tiene orden 24, contiene un subgrupo normal de orden 8 isomorfo al grupo de cuaterniones , y es el grupo tetraédrico binario ${\displaystyle x\rightarrow x\omega }$ ${\displaystyle y\rightarrow y+x+\omega ,x\rightarrow x+1}$ ${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0}$

• Si K es un campo de característica 3, toda curva está definida por una ecuación de la forma

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+a_{4}x+a_{6}}$

con un ₄ distinto de cero es una curva elíptica supersingular y, a la inversa, cada curva supersingular es isomorfa a una de esta forma (véase Washington 2003, pág. 122).

• Sobre el campo con 3 elementos cualquier curva elíptica supersingular es isomorfa a exactamente una de las curvas elípticas supersingulares

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x+1}$

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x+2}$

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x}$

• Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica 3 existe (salvo isomorfismo) exactamente una curva elíptica supersingular, dada por

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$,

con j -invariante 0. Su anillo de endomorfismos es el anillo de cuaterniones de la forma a + bj con a y b enteros de Eisenstein . , generado por los dos automorfismos y donde i es una raíz cuarta primitiva de la unidad. Su grupo de automorfismos es el grupo de unidades de estos cuaterniones, que tiene orden 12 y contiene un subgrupo normal de orden 3 con cociente un grupo cíclico de orden 4. ${\displaystyle x\rightarrow x+1}$ ${\displaystyle y\rightarrow iy,x\rightarrow -x}$

• Porque con p>3 la curva elíptica definida por con j -invariante 0 es supersingular si y sólo si y la curva elíptica definida por con j -invariante 1728 es supersingular si y sólo si (véase Washington 2003, 4.35). ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+1}$ ${\displaystyle p\equiv 2{\text{(mod 3)}}}$ ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x}$ ${\displaystyle p\equiv 3{\text{(mod 4)}}}$
• La curva elíptica dada por no es singular para . Es supersingular para p = 23 y ordinaria para cualquier otra (véase Hartshorne1977, 4.23.6). ${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x+2)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p\neq 2,3}$ ${\displaystyle p\leq 73}$
• La curva modular X ₀ (11) tiene j -invariante −2 ¹² 11 ⁻⁵ 31 ³ , y es isomorfa a la curva y ² + y = x ³ − x ² − 10 x − 20. Los primos p para los que es supersingular son aquellos para los que el coeficiente de q ^p en η(τ) ² η(11τ) ² se anula módulo p , y están dados por la lista

2, 19, 29, 199, 569, 809, 1289, 1439, 2539, 3319, 3559, 3919, 5519, 9419, 9539, 9929,... OEIS : A006962

• Si una curva elíptica sobre los racionales tiene multiplicación compleja, entonces el conjunto de primos para los cuales es supersingular tiene densidad 1/2. Si no tiene multiplicación compleja, entonces Serre demostró que el conjunto de primos para los cuales es supersingular tiene densidad cero. Elkies (1987) demostró que cualquier curva elíptica definida sobre los racionales es supersingular para un número infinito de primos.

Clasificación

Para cada característica positiva solo hay un número finito de posibles j -invariantes de curvas elípticas supersingulares. Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K una curva elíptica está determinada por su j -invariante, por lo que solo hay un número finito de curvas elípticas supersingulares. Si cada una de estas curvas está ponderada por 1/|Aut( E )| entonces el peso total de las curvas supersingulares es ( p –1)/24. Las curvas elípticas tienen grupos de automorfismos de orden 2 a menos que su j -invariante sea 0 o 1728, por lo que las curvas elípticas supersingulares se clasifican de la siguiente manera. Hay exactamente ⌊ p /12⌋ curvas elípticas supersingulares con grupos de automorfismos de orden 2. Además si p ≡3 mod 4 hay una curva elíptica supersingular (con j -invariante 1728) cuyo grupo de automorfismos es cíclico o de orden 4 a menos que p = 3 en cuyo caso tiene orden 12, y si p ≡2 mod 3 hay una curva elíptica supersingular (con j -invariante 0) cuyo grupo de automorfismos es cíclico de orden 6 a menos que p = 2 en cuyo caso tiene orden 24.

Birch y Kuyk (1975) presentan una tabla de todos los j -invariantes de curvas supersingulares para primos hasta 307. Para los primeros primos, las curvas elípticas supersingulares se dan de la siguiente manera. El número de valores supersingulares de j distintos de 0 o 1728 es la parte entera de (p−1)/12.

Véase también

• Número primo supersingular (teoría de números algebraicos)
• Primo supersingular (teoría de la luz de la luna)
• Variedad supersingular

Referencias

• Birch, BJ ; Kuyk, W., eds. (1975), "Tabla 6", Funciones modulares de una variable. IV , Lecture Notes in Mathematics, vol. 476, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 142–144, doi :10.1007/BFb0097591, ISBN 978-3-540-07392-5, MR  0376533, Zbl  0315.14014
• Deuring, Max (1941), "Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper", Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo , 14 : 197–272, doi : 10.1007/BF02940746, SEÑOR  0005125
• Elkies, Noam D. (1987), "La existencia de infinitos primos supersingulares para cada curva elíptica sobre Q", Inventiones Mathematicae , 89 (3): 561–567, doi :10.1007/BF01388985, ISSN  0020-9910, MR  0903384, Zbl  0631.14024
• Robin Hartshorne (1977), Geometría algebraica , Springer. ISBN 1-4419-2807-3 
• Hasse (1936), "Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper I. Die Struktur der Gruppe der Divisorenklassen endlicher Ordnung. II. Automorphismen und Meromorphismen. Das Additionstheorem. III. Die Struktur des Meromorphismenrings. Die Riemannsche Vermutung.", J. Reine Angew. Matemáticas. , 175 : 55–62, 69–88, 193–208
• Joseph H. Silverman (2009), La aritmética de las curvas elípticas , Springer. ISBN 0-387-09493-8 
• Lawrence C. Washington (2003), Curvas elípticas , Chapman&Hall. ISBN 1-58488-365-0