En matemáticas , el operador Verschiebung u operador Verschiebung V es un homomorfismo entre esquemas de grupos conmutativos afines sobre un cuerpo de característica p distinta de cero . Para esquemas de grupos finitos, es el dual de Cartier del homomorfismo de Frobenius . Fue introducido por Witt (1937) como el operador de desplazamiento sobre vectores de Witt que toman ( a 0 , a 1 , a 2 , ...) a (0, a 0 , a 1 , ...). ("Verschiebung" es la palabra alemana para "desplazamiento", pero el término "Verschiebung" se usa a menudo para este operador incluso en otros idiomas).
El operador de Verschiebung V y el operador de Frobenius F están relacionados por FV = VF = [ p ], donde [ p ] es el homomorfismo de potencia p de un esquema de grupo abeliano.
Ejemplos
- Si G es el grupo discreto de n elementos sobre el cuerpo finito F p de orden p , entonces el homomorfismo de Frobenius F es el homomorfismo identidad y la Verschiebung V es el homomorfismo [ p ] (multiplicación por p en el grupo). Su dual es el esquema de grupo de raíces n ésimas de la unidad , cuyo homomorfismo de Frobenius es [ p ] y cuyo Verschiebung es el homomorfismo identidad.
- Para los vectores de Witt, la Verschiebung toma ( a 0 , a 1 , a 2 , ...) como (0, a 0 , a 1 , ...).
- En el álgebra de Hopf de funciones simétricas, la Verschiebung V n es el endomorfismo algebraico que toma la función simétrica completa h r como h r / n si n divide a r y como 0 en caso contrario.
Véase también
Referencias
- Demazure, Michel (1972), Lecciones sobre grupos p-divisibles , Lecture Notes in Mathematics, vol. 302, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0060741, ISBN 978-3-540-06092-5, Sr. 0344261
- Witt, Ernst (1937), "Zyklische Körper und Algebren der Characteristik p vom Grad pn. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik pn", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 176 : 126–140, doi :10.1515/crll.1937.176.126
