En teoría de números y geometría algebraica , una curva modular Y (Γ) es una superficie de Riemann , o la curva algebraica correspondiente , construida como cociente del semiplano superior complejo H por la acción de un subgrupo de congruencia Γ del grupo modular de matrices integrales 2×2 SL(2, Z ). El término curva modular también se puede utilizar para referirse a las curvas modulares compactadas X (Γ), que son compactaciones obtenidas sumando un número finito de puntos (llamados cúspides de Γ ) a este cociente (mediante una acción en el semiplano superior complejo extendido). ). Los puntos de una curva modular parametrizan clases de isomorfismo de curvas elípticas , junto con alguna estructura adicional que depende del grupo Γ. Esta interpretación permite dar una definición puramente algebraica de curvas modulares, sin referencia a números complejos y, además, demostrar que las curvas modulares se definen sobre el campo de números racionales Q o sobre un campo ciclotómico Q (ζ n ). Este último hecho y sus generalizaciones son de fundamental importancia en la teoría de números.
El grupo modular SL(2, Z ) actúa sobre el semiplano superior mediante transformaciones lineales fraccionarias . La definición analítica de una curva modular implica la elección de un subgrupo de congruencia Γ de SL(2, Z ), es decir, un subgrupo que contiene el subgrupo de congruencia principal de nivel N para algún entero positivo N , que se define como
El mínimo de este N se llama nivel de Γ . Se puede poner una estructura compleja en el cociente Γ\ H para obtener una superficie de Riemann no compacta llamada curva modular , y comúnmente denotada como Y (Γ).
Una compactación común de Y (Γ) se obtiene sumando un número finito de puntos llamados cúspides de Γ. Específicamente, esto se hace considerando la acción de Γ en el semiplano superior complejo extendido H * = H ∪ Q ∪ {∞ }. Introducimos una topología en H * tomando como base:
Esto convierte a H * en un espacio topológico que es un subconjunto de la esfera de Riemann P 1 ( C ). El grupo Γ actúa sobre el subconjunto Q ∪ {∞ }, dividiéndolo en un número finito de órbitas llamadas cúspides de Γ . Si Γ actúa transitivamente sobre Q ∪ {∞ }, el espacio Γ\ H * se convierte en la compactificación de Alexandroff de Γ\ H . Una vez más, se puede poner una estructura compleja en el cociente Γ\ H * convirtiéndolo en una superficie de Riemann denotada X (Γ) que ahora es compacta . Este espacio es una compactación de Y (Γ). [1]
Los ejemplos más comunes son las curvas X ( N ), X 0 ( N ) y X 1 ( N ) asociadas con los subgrupos Γ( N ), Γ 0 ( N ) y Γ 1 ( N ).
La curva modular X (5) tiene género 0: es la esfera de Riemann de 12 cúspides situadas en los vértices de un icosaedro regular . La cobertura X (5) → X (1) se realiza por la acción del grupo icosaédrico sobre la esfera de Riemann. Este grupo es un grupo simple de orden 60 isomorfo a A 5 y PSL(2, 5).
La curva modular X (7) es la cuarta de Klein del género 3 con 24 cúspides. Puede interpretarse como una superficie con tres asas revestidas por 24 heptágonos, con una cúspide en el centro de cada cara. Estos mosaicos se pueden entender a través de dibujos de niños y funciones de Belyi : las cúspides son los puntos que se encuentran sobre ∞ (puntos rojos), mientras que los vértices y centros de los bordes (puntos blancos y negros) son los puntos que se encuentran sobre 0 y 1. El grupo de Galois de la cobertura X (7) → X (1) es un grupo simple de orden 168 isomorfo a PSL(2, 7) .
Existe un modelo clásico explícito para X 0 ( N ), la curva modular clásica ; A esto a veces se le llama curva modular. La definición de Γ( N ) se puede reformular de la siguiente manera: es el subgrupo del grupo modular que es el núcleo del módulo de reducción N. Entonces Γ 0 ( N ) es el subgrupo más grande de matrices que son módulo triangular superior N :
y Γ 1 ( N ) es el grupo intermedio definido por:
Estas curvas tienen una interpretación directa como espacios de módulos para curvas elípticas con estructura de niveles y por esta razón juegan un papel importante en la geometría aritmética . La curva modular de nivel N X ( N ) es el espacio de módulos para curvas elípticas con una base para la torsión N. Para X 0 ( N ) y X 1 ( N ), la estructura de niveles es, respectivamente, un subgrupo cíclico de orden N y un punto de orden N. Estas curvas se han estudiado con gran detalle y, en particular, se sabe que X 0 ( N ) se puede definir sobre Q .
Las ecuaciones que definen curvas modulares son los ejemplos más conocidos de ecuaciones modulares . Los "mejores modelos" pueden ser muy diferentes de los tomados directamente de la teoría de la función elíptica . Los operadores de Hecke pueden estudiarse geométricamente, como correspondencias que conectan pares de curvas modulares.
Se producen cocientes de H que son compactos para grupos fucsianos Γ distintos de los subgrupos del grupo modular; una clase de ellos construida a partir de álgebras de cuaterniones también es de interés en la teoría de números.
La cobertura X ( N ) → X (1) es Galois, con grupo de Galois SL(2, N )/{1, −1}, que es igual a PSL(2, N ) si N es primo. Aplicando la fórmula de Riemann-Hurwitz y el teorema de Gauss-Bonnet , se puede calcular el género de X ( N ). Para un nivel primario p ≥ 5,
donde χ = 2 − 2 g es la característica de Euler , | GRAMO | = ( p +1) p ( p −1)/2 es el orden del grupo PSL(2, p ), y D = π − π/2 − π/3 − π/ p es el defecto angular de la esfera esférica (2,3, p ) triángulo. Esto da como resultado una fórmula
Así, X (5) tiene género 0, X (7) tiene género 3 y X (11) tiene género 26. Para p = 2 o 3, se debe tener en cuenta adicionalmente la ramificación, es decir, la presencia de orden p. elementos en PSL(2, Z ), y el hecho de que PSL(2, 2) tiene orden 6, en lugar de 3. Existe una fórmula más complicada para el género de la curva modular X ( N ) de cualquier nivel N que involucra divisores de norte .
En general, un campo funcional modular es un campo funcional de una curva modular (o, ocasionalmente, de algún otro espacio de módulos que resulta ser una variedad irreducible ). Género cero significa que dicho campo funcional tiene una única función trascendental como generador: por ejemplo, la función j genera el campo funcional de X (1) = PSL(2, Z )\ H *. El nombre tradicional para un generador de este tipo, que es único hasta una transformación de Möbius y puede normalizarse adecuadamente, es Hauptmodul ( función modular principal o principal , plural Hauptmoduln ).
Los espacios X 1 ( n ) tienen género cero para n = 1, ..., 10 y n = 12. Como cada una de estas curvas está definida sobre Q y tiene un punto Q -racional, se deduce que hay infinitas curvas racionales. puntos en cada una de estas curvas y, por lo tanto, infinitas curvas elípticas definidas sobre Q con n -torsión para estos valores de n . La afirmación inversa, de que sólo estos valores de n pueden ocurrir, es el teorema de torsión de Mazur .
Las curvas modulares son de género uno si y sólo si es igual a uno de los 12 valores enumerados en la siguiente tabla. [2] Como curvas elípticas , tienen modelos de Weierstrass integrales y mínimos . Esto es así, y el valor absoluto del discriminante es mínimo entre todos los modelos integrales de Weierstrass para la misma curva. La siguiente tabla contiene los modelos Weierstrass integrales, mínimos y reducidos únicos, lo que significa y . [3] La última columna de esta tabla se refiere a la página de inicio de la curva modular elíptica respectiva en la base de datos de funciones L y formas modulares (LMFDB) .
Las curvas modulares del género 0, que son bastante raras, resultaron ser de gran importancia en relación con las monstruosas conjeturas del alcohol ilegal. Ya en el siglo XIX se calcularon los primeros coeficientes de las expansiones q de su Hauptmoduln, pero fue una sorpresa que los mismos números enteros grandes aparecieran como dimensiones de representaciones del mayor grupo simple esporádico Monster.
Otra conexión es que la curva modular correspondiente al normalizador Γ 0 ( p ) + de Γ 0 ( p ) en SL(2, R ) tiene género cero si y sólo si p es 2, 3, 5, 7, 11, 13. , 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 o 71, y estos son precisamente los factores primos del orden del grupo de monstruos . El resultado sobre Γ 0 ( p ) + se debe a Jean-Pierre Serre , Andrew Ogg y John G. Thompson en la década de 1970, y la observación posterior que lo relaciona con el grupo de monstruos se debe a Ogg, quien escribió un artículo que ofrece una botella de whisky Jack Daniel's a cualquiera que pudiera explicar este hecho, que fue el punto de partida de la teoría del monstruoso alcohol ilegal. [4]
La relación es muy profunda y, como lo demostró Richard Borcherds , también involucra álgebras generalizadas de Kac-Moody . El trabajo en esta área subrayó la importancia de las funciones modulares que son meromorfas y pueden tener polos en las cúspides, a diferencia de las formas modulares , que son holomorfas en todas partes, incluidas las cúspides, y habían sido los principales objetos de estudio durante la mayor parte del siglo XIX. siglo 20.
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