En matemáticas , el teorema de Belyi sobre curvas algebraicas establece que cualquier curva algebraica no singular C , definida por coeficientes numéricos algebraicos , representa una superficie de Riemann compacta que es una cubierta ramificada de la esfera de Riemann , ramificada en tres puntos solamente.
Este es un resultado de GV Belyi de 1979. En su momento se consideró sorprendente y animó a Grothendieck a desarrollar su teoría de dessins d'enfant , que describe curvas algebraicas no singulares sobre los números algebraicos utilizando datos combinatorios.
De ello se deduce que la superficie de Riemann en cuestión puede tomarse como el cociente
(donde H es el semiplano superior y Γ es un subgrupo de índice finito en el grupo modular ) compactificado por cúspides . Dado que el grupo modular tiene subgrupos no congruentes , no se puede concluir que cualquier curva de este tipo sea una curva modular .
Una función de Belyi es una función holomorfa de una superficie compacta de Riemann S a la línea proyectiva compleja P 1 ( C ) ramificada sólo sobre tres puntos, que después de una transformación de Möbius pueden tomarse como . Las funciones de Belyi pueden describirse combinatoriamente mediante dibujos para niños .
Las funciones de Belyi y los dibujos de niños –pero no el teorema de Belyi– datan al menos del trabajo de Felix Klein ; él los utilizó en su artículo (Klein 1879) para estudiar una cubierta de 11 pliegues de la línea proyectiva compleja con grupo de monodromía PSL(2,11). [1]
El teorema de Belyi es un teorema de existencia para funciones de Belyi, y posteriormente se ha utilizado mucho en el problema de Galois inverso .
