En matemáticas , el campo de definición de una variedad algebraica V es esencialmente el campo más pequeño al que pueden pertenecer los coeficientes de los polinomios que definen V. Dados polinomios, con coeficientes en un campo K , puede que no sea obvio si existe un campo más pequeño k , y otros polinomios definidos sobre k , que aún definen V.
La cuestión del campo de definición es motivo de preocupación en la geometría diofántica .
En todo este artículo, k denota un cuerpo. El cierre algebraico de un cuerpo se denota añadiendo un superíndice de "alg", p. ej. el cierre algebraico de k es k alg . Los símbolos Q , R , C y F p representan, respectivamente, el cuerpo de los números racionales , el cuerpo de los números reales , el cuerpo de los números complejos y el cuerpo finito que contiene p elementos. El espacio n afín sobre un cuerpo F se denota por A n ( F ).
Los resultados y definiciones que se indican a continuación, para variedades afines , se pueden traducir a variedades proyectivas , reemplazando A n ( k alg ) con un espacio proyectivo de dimensión n − 1 sobre k alg , e insistiendo en que todos los polinomios sean homogéneos .
Un conjunto k - algebraico es el lugar geométrico cero en A n ( k alg ) de un subconjunto del anillo de polinomios k [ x 1 , ..., x n ]. Una k -variedad es un conjunto k -algebraico que es irreducible, es decir, no es la unión de dos conjuntos k -algebraicos estrictamente más pequeños. Un k -morfismo es una función regular entre conjuntos k -algebraicos cuyos coeficientes de polinomios definitorios pertenecen a k .
Una razón para considerar el lugar cero en A n ( k alg ) y no A n ( k ) es que, para dos conjuntos k -algebraicos distintos X 1 y X 2 , las intersecciones X 1 ∩ A n ( k ) y X 2 ∩ A n ( k ) pueden ser idénticas; de hecho, el lugar cero en A n ( k ) de cualquier subconjunto de k [ x 1 , ..., x n ] es el lugar cero de un solo elemento de k [ x 1 , ..., x n ] si k no es algebraicamente cerrado.
Una k -variedad se denomina variedad si es absolutamente irreducible , es decir, no es la unión de dos conjuntos k alg -algebraicos estrictamente más pequeños. Una variedad V se define sobre k si cada polinomio en k alg [ x 1 , ..., x n ] que se anula en V es la combinación lineal (sobre k alg ) de polinomios en k [ x 1 , ..., x n ] que se anulan en V . Un conjunto k -algebraico es también un conjunto L -algebraico para infinitos subcuerpos L de k alg . Un cuerpo de definición de una variedad V es un subcuerpo L de k alg tal que V es una L -variedad definida sobre L .
De manera equivalente, una k -variedad V es una variedad definida sobre k si y solo si el cuerpo de funciones k ( V ) de V es una extensión regular de k , en el sentido de Weil . Esto significa que cada subconjunto de k ( V ) que es linealmente independiente sobre k también es linealmente independiente sobre k alg . En otras palabras, esas extensiones de k son linealmente disjuntas .
André Weil demostró que la intersección de todos los campos de definición de una variedad V es en sí misma un campo de definición. Esto justifica decir que cualquier variedad posee un campo de definición único y mínimo.
Una ventaja de definir variedades sobre campos arbitrarios a través de la teoría de esquemas es que dichas definiciones son intrínsecas y libres de incrustaciones en el espacio n afín ambiental .
Un conjunto k -algebraico es un esquema separado y reducido de tipo finito sobre Spec( k ) . Una k -variedad es un conjunto k -algebraico irreducible . Un k -morfismo es un morfismo entre conjuntos k -algebraicos considerados como esquemas sobre Spec( k ).
Para cada extensión algebraica L de k , el conjunto L -algebraico asociado a un conjunto k -algebraico dado V es el producto fibra de los esquemas V × Spec( k ) Spec( L ). Una k -variedad es absolutamente irreducible si el conjunto k -algebraico asociado es un esquema irreducible; en este caso, la k -variedad se llama variedad . Una k -variedad absolutamente irreducible se define sobre k si el conjunto k -algebraico asociado es un esquema reducido. Un cuerpo de definición de una variedad V es un subcuerpo L de k -algebraico tal que existe una k ∩ L -variedad W tal que W × Spec( k ∩ L ) Spec( k ) es isomorfo a V y el objeto final en la categoría de esquemas reducidos sobre W × Spec( k ∩ L ) Spec( L ) es una L -variedad definida sobre L .
De manera análoga a las definiciones de variedades afines y proyectivas, una k -variedad es una variedad definida sobre k si el tallo del haz de estructura en el punto genérico es una extensión regular de k ; además, cada variedad tiene un campo mínimo de definición.
Una desventaja de la definición de teoría de esquemas es que un esquema sobre k no puede tener un punto con valor L si L no es una extensión de k . Por ejemplo, el punto racional (1,1,1) es una solución a la ecuación x 1 + i x 2 - (1+i) x 3 pero la variedad Q [i] correspondiente V no tiene ningún punto con valor Spec( Q ). Las dos definiciones de campo de definición también son discrepantes, por ejemplo, el campo de definición mínimo (de teoría de esquemas) de V es Q , mientras que en la primera definición habría sido Q [i]. La razón de esta discrepancia es que las definiciones de teoría de esquemas solo mantienen un registro del conjunto polinomial hasta el cambio de base . En este ejemplo, una forma de evitar estos problemas es utilizar la variedad Q Spec( Q [ x 1 , x 2 , x 3 ]/( x 1 2 + x 2 2 + 2 x 3 2 - 2 x 1 x 3 - 2 x 2 x 3 )), cuyo conjunto Q [i]-algebraico asociado es la unión de la variedad Q [i] Spec( Q [i][ x 1 , x 2 , x 3 ]/( x 1 + i x 2 - (1+i) x 3 )) y su conjugado complejo.
El grupo de Galois absoluto Gal( k alg / k ) de k actúa naturalmente sobre el lugar cero en A n ( k alg ) de un subconjunto del anillo polinomial k [ x 1 , ..., x n ]. En general, si V es un esquema sobre k (por ejemplo, un conjunto k -algebraico), Gal( k alg / k ) actúa naturalmente sobre V × Spec( k ) Spec( k alg ) a través de su acción sobre Spec( k alg ).
Cuando V es una variedad definida sobre un cuerpo perfecto k , el esquema V puede recuperarse a partir del esquema V × Spec( k ) Spec( k alg ) junto con la acción de Gal( k alg / k ) sobre este último esquema: las secciones del haz de estructura de V sobre un subconjunto abierto U son exactamente las secciones del haz de estructura de V × Spec( k ) Spec( k alg ) sobre U × Spec( k ) Spec( k alg ) cuyos residuos son constantes en cada órbita Gal( k alg / k ) en U × Spec( k ) Spec( k alg ). En el caso afín, esto significa que la acción del grupo de Galois absoluto sobre el lugar geométrico cero es suficiente para recuperar el subconjunto de k [ x 1 , ..., x n ] que consiste en polinomios que se desvanecen.
En general, esta información no es suficiente para recuperar V . En el ejemplo del lugar cero de x 1 p - t en el alg ( F p ( t )) , la variedad consiste en un único punto y, por lo tanto, la acción del grupo de Galois absoluto no puede distinguir si el ideal de polinomios que se desvanecen fue generado por x 1 - t 1/ p , por x 1 p - t o, de hecho, por x 1 - t 1/ p elevado a alguna otra potencia de p .
Para cualquier subcampo L de k alg y cualquier L -variedad V , un automorfismo σ de k alg mapeará V isomorfamente sobre una σ( L )-variedad.