En matemáticas , el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, 7) , isomorfo a GL(3, 2) , es un grupo finito simple que tiene importantes aplicaciones en álgebra , geometría y teoría de números . Es el grupo de automorfismo del cuartico de Klein así como el grupo de simetría del plano de Fano . Con 168 elementos, PSL(2, 7) es el grupo simple no abeliano más pequeño después del grupo alterno A 5 con 60 elementos, isomorfo a PSL(2, 5) .
El grupo lineal general GL(2, 7) consta de todas las matrices invertibles de 2×2 sobre F 7 , el campo finito con 7 elementos. Estos tienen determinante distinto de cero. El subgrupo SL(2, 7) consta de todas esas matrices con determinante unitario . Entonces PSL(2, 7) se define como el grupo cociente
obtenido identificando I y −I , donde I es la matriz identidad . En este artículo, dejamos que G denote cualquier grupo que sea isomorfo a PSL(2, 7) .
G = PSL(2, 7) tiene 168 elementos. Esto se puede ver contando las posibles columnas; hay 7 2 − 1 = 48 posibilidades para la primera columna, luego 7 2 − 7 = 42 posibilidades para la segunda columna. Debemos dividir por 7 − 1 = 6 para forzar que el determinante sea igual a uno, y luego debemos dividir por 2 cuando identificamos I y − I. El resultado es (48 × 42) / (6 × 2) = 168 .
Es un resultado general que PSL( n , q ) es simple para n , q ≥ 2 ( siendo q alguna potencia de un número primo ), a menos que ( n , q ) = (2, 2) o (2, 3) . PSL(2, 2) es isomorfo al grupo simétrico S 3 , y PSL(2, 3) es isomorfo al grupo alterno A 4 . De hecho, PSL(2, 7) es el segundo grupo simple no abeliano más pequeño, después del grupo alterno A 5 = PSL(2, 5) = PSL(2, 4) .
El número de clases de conjugación y representaciones irreducibles es 6. Los tamaños de las clases de conjugación son 1, 21, 42, 56, 24, 24. Las dimensiones de las representaciones irreducibles 1, 3, 3, 6, 7, 8.
tabla de caracteres
dónde
La siguiente tabla describe las clases de conjugación en términos del orden de un elemento en la clase, el tamaño de la clase, el polinomio mínimo de cada representante en GL(3, 2) y la notación de función para un representante en PSL(2). , 7). Tenga en cuenta que las clases 7A y 7B se intercambian mediante un automorfismo, por lo que los representantes de GL(3, 2) y PSL(2, 7) se pueden cambiar arbitrariamente.
El orden del grupo es 168 = 3 × 7 × 8 , esto implica existencia de subgrupos de Sylow de orden 3, 7 y 8. Es fácil describir los dos primeros, son cíclicos, ya que cualquier grupo de orden primo es cíclico . Cualquier elemento de la clase de conjugación 3 A 56 genera el subgrupo 3 de Sylow. Cualquier elemento de las clases de conjugación 7 A 24 , 7 B 24 genera el subgrupo 7 de Sylow. El subgrupo Sylow 2 es un grupo diédrico de orden 8 . Puede describirse como centralizador de cualquier elemento de la clase de conjugación 2 A 21 . En la representación GL(3, 2) , un subgrupo Sylow 2 consta de las matrices triangulares superiores.
Este grupo y su subgrupo Sylow 2 proporcionan un contraejemplo para varios teoremas normales del complemento p para p = 2 .
G = PSL(2, 7) actúa mediante transformación fraccionaria lineal en la línea proyectiva P 1 (7) sobre el campo con 7 elementos:
Cada automorfismo que preserva la orientación de P 1 (7) surge de esta manera, por lo que G = PSL(2, 7) puede considerarse geométricamente como un grupo de simetrías de la línea proyectiva P 1 (7); el grupo completo de automorfismos lineales proyectivos que posiblemente invierten la orientación es, en cambio, la extensión de orden 2 PGL(2, 7) , y el grupo de colineaciones de la línea proyectiva es el grupo simétrico completo de los puntos.
Sin embargo, PSL(2, 7) también es isomorfo a PSL(3, 2) ( = SL(3, 2) = GL(3, 2) ), el grupo lineal especial (general) de matrices 3×3 sobre el campo con 2 elementos. De manera similar, G = PSL(3, 2) actúa sobre el plano proyectivo P 2 (2) sobre el campo con 2 elementos, también conocido como plano de Fano :
Nuevamente, todo automorfismo de P 2 (2) surge de esta manera, por lo que G = PSL(3, 2) puede considerarse geométricamente como el grupo de simetría de este plano proyectivo. El plano de Fano se puede utilizar para describir la multiplicación de octoniones , por lo que G actúa sobre el conjunto de tablas de multiplicación de octoniones.
El cuartico de Klein es la variedad proyectiva sobre los números complejos C definidos por el polinomio cuartico
Es una superficie compacta de Riemann de género g = 3 , y es la única superficie para la cual el tamaño del grupo de automorfismo conforme alcanza el máximo de 84 ( g - 1) . Este límite se debe al teorema de los automorfismos de Hurwitz , que se cumple para todo g > 1 . Estas " superficies de Hurwitz " son raras; el siguiente género para el que existe es g = 7 , y el siguiente es g = 14 .
Como ocurre con todas las superficies de Hurwitz , a la cuartica de Klein se le puede dar una métrica de curvatura negativa constante y luego revestirla con heptágonos regulares (hiperbólicos) , como un cociente del mosaico heptagonal de orden 3 , con las simetrías de la superficie como una superficie de Riemann o curva algebraica exactamente igual que las simetrías del mosaico. Para el cuártico de Klein, esto produce un mosaico de 24 heptágonos y, por lo tanto, el orden de G está relacionado con el hecho de que 24 × 7 = 168 . Dualmente, se puede revestir con 56 triángulos equiláteros, con 24 vértices, cada uno de grado 7, como cociente del mosaico triangular de orden 7 .
La cuarta de Klein surge en muchos campos de las matemáticas, incluida la teoría de la representación, la teoría de la homología, la multiplicación de octoniones, el último teorema de Fermat y el teorema de Stark sobre campos numéricos cuadráticos imaginarios de clase número 1.
PSL(2, 7) es un subgrupo máximo del grupo M 21 de Mathieu ; los grupos M 21 y M 24 se pueden construir como extensiones de PSL(2, 7) . Estas extensiones pueden interpretarse en términos del mosaico de la cuartica de Klein, pero no se realizan mediante simetrías geométricas del mosaico. [1]
El grupo PSL(2, 7) actúa sobre varios conjuntos finitos:
