Métrica de Poincaré

Tensor métrico que describe una curvatura negativa constante (hiperbólica)

En matemáticas , la métrica de Poincaré , llamada así por Henri Poincaré , es el tensor métrico que describe una superficie bidimensional de curvatura negativa constante . Es la métrica natural que se utiliza comúnmente en una variedad de cálculos en geometría hiperbólica o superficies de Riemann .

Existen tres representaciones equivalentes que se utilizan comúnmente en la geometría hiperbólica bidimensional . Una es el modelo de semiplano de Poincaré , que define un modelo de espacio hiperbólico en el semiplano superior . El modelo de disco de Poincaré define un modelo para el espacio hiperbólico en el disco unitario . El disco y el semiplano superior están relacionados por una función conforme , y las isometrías se dan por transformaciones de Möbius . Una tercera representación es en el disco perforado , donde a veces se expresan relaciones para los análogos q . Estas diversas formas se revisan a continuación.

Descripción general de las métricas de las superficies de Riemann

Una métrica en el plano complejo puede expresarse generalmente en la forma

${\displaystyle ds^{2}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dz\,d{\overline {z}}}$

donde λ es una función real y positiva de y . La longitud de una curva γ en el plano complejo está dada por ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$

${\displaystyle l(\gamma )=\int _{\gamma }\lambda (z,{\overline {z}})\,|dz|}$

El área de un subconjunto del plano complejo está dada por

${\displaystyle {\text{Area}}(M)=\int _{M}\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,{\frac {i}{2}}\,dz\wedge d{\overline {z}}}$

donde es el producto exterior utilizado para construir la forma de volumen . El determinante de la métrica es igual a , por lo que la raíz cuadrada del determinante es . La forma euclidiana del volumen en el plano es y por lo tanto se tiene ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \lambda ^{4}}$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ ${\displaystyle dx\wedge dy}$

${\displaystyle dz\wedge d{\overline {z}}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-i\,dy)=-2i\,dx\wedge dy.}$

Se dice que una función es el potencial de la métrica si ${\displaystyle \Phi (z,{\overline {z}})}$

${\displaystyle 4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\Phi (z,{\overline {z}})=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).}$

El operador de Laplace-Beltrami está dado por

${\displaystyle \Delta ={\frac {4}{\lambda ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right).}$

La curvatura gaussiana de la métrica está dada por

${\displaystyle K=-\Delta \log \lambda .\,}$

Esta curvatura es la mitad de la curvatura escalar de Ricci .

Las isometrías conservan los ángulos y las longitudes de arco. En las superficies de Riemann, las isometrías son idénticas a los cambios de coordenadas: es decir, tanto el operador de Laplace-Beltrami como la curvatura son invariantes bajo isometrías. Así, por ejemplo, sea S una superficie de Riemann con métrica y T una superficie de Riemann con métrica . Entonces, una función ${\displaystyle \lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dz\,d{\overline {z}}}$ ${\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\,dw\,d{\overline {w}}}$

${\displaystyle f:S\to T\,}$

con es una isometría si y solo si es conforme y si ${\displaystyle f=w(z)}$

${\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\;{\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial {\overline {z}}}}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})}$.

Aquí, el requisito de que el mapa sea conforme no es nada más que la afirmación

${\displaystyle w(z,{\overline {z}})=w(z),}$

eso es,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}w(z)=0.}$

Elemento métrico y de volumen en el plano de Poincaré

El tensor métrico de Poincaré en el modelo de semiplano de Poincaré se da en el semiplano superior H como

${\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{y^{2}}}}$

donde escribimos y . Este tensor métrico es invariante bajo la acción de SL(2, R ) . Es decir, si escribimos ${\displaystyle dz=dx+i\,dy}$ ${\displaystyle d{\overline {z}}=dx-i\,dy}$

${\displaystyle z'=x'+iy'={\frac {az+b}{cz+d}}}$

Porque entonces podemos deducir que ${\displaystyle ad-bc=1}$

${\displaystyle x'={\frac {ac(x^{2}+y^{2})+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^{2}}}}$

y

${\displaystyle y'={\frac {y}{|cz+d|^{2}}}.}$

Las transformaciones infinitesimales como

${\displaystyle dz'={\frac {\partial }{\partial z}}{\Big (}{\frac {az+b}{cz+d}}{\Big )}\,dz={\frac {a(cz+d)-c(az+b)}{(cz+d)^{2}}}\,dz={\frac {acz+ad-caz-cb}{(cz+d)^{2}}}\,dz={\frac {ad-cb}{(cz+d)^{2}}}\,dz\,\,{\overset {ad-cb=1}{=}}\,\,{\frac {1}{(cz+d)^{2}}}\,dz={\frac {dz}{(cz+d)^{2}}}}$

y entonces

${\displaystyle dz'd{\overline {z}}'={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}}$

dejando así en claro que el tensor métrico es invariante bajo SL(2, R ). De hecho,

${\displaystyle {\frac {dz'\,d{\overline {z}}'}{y'^{2}}}={\frac {\frac {dzd{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}{\frac {y^{2}}{|cz+d|^{4}}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{y^{2}}}.}$

El elemento de volumen invariante viene dado por

${\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{y^{2}}}.}$

La métrica viene dada por

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}{\frac {|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|}}}$

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\log {\frac {|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|+|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|-|z_{1}-z_{2}|}}}$

para ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} .}$

Otra forma interesante de la métrica se puede dar en términos de la razón cruzada . Dados cuatro puntos cualesquiera y en el plano complejo compactificado, la razón cruzada se define por ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$ ${\displaystyle z_{4}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \},}$

${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{1}-z_{4})(z_{2}-z_{3})}}.}$

Entonces la métrica viene dada por

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\log \left(z_{1},z_{2};z_{1}^{\times },z_{2}^{\times }\right).}$

Aquí, y son los puntos finales, en la línea de números reales, de la geodésica que une y . Estos están numerados de modo que se encuentre entre y . ${\displaystyle z_{1}^{\times }}$ ${\displaystyle z_{2}^{\times }}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{1}^{\times }}$ ${\displaystyle z_{2}}$

Las geodésicas de este tensor métrico son arcos circulares perpendiculares al eje real (semicírculos cuyo origen está en el eje real) y líneas rectas verticales que terminan en el eje real.

Mapa conforme del plano al disco

El semiplano superior se puede mapear conformemente al disco unitario con la transformación de Möbius.

${\displaystyle w=e^{i\phi }{\frac {z-z_{0}}{z-{\overline {z_{0}}}}}}$

donde w es el punto en el disco unitario que corresponde al punto z en el semiplano superior. En esta asignación, la constante z ₀ puede ser cualquier punto en el semiplano superior; se asignará al centro del disco. El eje real se asigna al borde del disco unitario. El número real constante se puede utilizar para rotar el disco en una cantidad fija arbitraria. ${\displaystyle \Im z=0}$ ${\displaystyle |w|=1.}$ ${\displaystyle \phi }$

El mapeo canónico es

${\displaystyle w={\frac {iz+1}{z+i}}}$

que lleva i al centro del disco y 0 a la parte inferior del disco.

Elemento métrico y de volumen en el disco de Poincaré

El tensor métrico de Poincaré en el modelo de disco de Poincaré se da en el disco unitario abierto

${\displaystyle U=\left\{z=x+iy:|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<1\right\}}$

por

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4(dx^{2}+dy^{2})}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {4dz\,d{\overline {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}$

El elemento de volumen viene dado por

${\displaystyle d\mu ={\frac {4dx\,dy}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {4dx\,dy}{(1-|z|^{2})^{2}}}.}$

La métrica de Poincaré está dada por

${\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-z_{1}{\overline {z_{2}}}}}\right|}$

para ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in U.}$

Las geodésicas de este tensor métrico son arcos circulares cuyos puntos finales son ortogonales al límite del disco. Los flujos geodésicos en el disco de Poincaré son flujos de Anosov ; en este artículo se desarrolla la notación para dichos flujos.

El modelo del disco perforado

J-invariante en coordenadas del disco perforado; es decir, en función del nomo.

J-invariante en las coordenadas del disco de Poincaré; tenga en cuenta que este disco está rotado 90 grados con respecto a las coordenadas canónicas proporcionadas en este artículo

Un segundo mapeo común del semiplano superior a un disco es el mapeo q

${\displaystyle q=\exp(i\pi \tau )}$

donde q es el nombre y τ es la relación del semiperiodo :

${\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$.

En la notación de las secciones anteriores, τ es la coordenada en el semiplano superior . La aplicación es al disco perforado, porque el valor q = 0 no está en la imagen de la aplicación. ${\displaystyle \Im \tau >0}$

La métrica de Poincaré en el semiplano superior induce una métrica en el disco q

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{|q|^{2}(\log |q|^{2})^{2}}}dq\,d{\overline {q}}}$

El potencial de la métrica es

${\displaystyle \Phi (q,{\overline {q}})=4\log \log |q|^{-2}}$

Lema de Schwarz

La métrica de Poincaré es decreciente en función de la distancia en las funciones armónicas . Se trata de una extensión del lema de Schwarz , denominado teorema de Schwarz–Ahlfors–Pick .

Véase también

• Grupo fucsia
• Modelo fucsia
• Grupo kleiniano
• Modelo kleiniano
• Modelo de disco de Poincaré
• Modelo de semiplano de Poincaré
• Geodésica principal

Referencias

• Hershel M. Farkas e Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN  0-387-90465-4 .
• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 3-540-43299-X (Ver Sección 2.3) . 
• Svetlana Katok , Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Proporciona una introducción sencilla y de fácil lectura).