En geometría hiperbólica , el cuártico de Klein , que lleva el nombre de Felix Klein , es una superficie compacta de Riemann de género 3 con el grupo de automorfismos de orden más alto posible para este género, es decir, orden 168 automorfismos que preservan la orientación, y 168 × 2 = 336 automorfismos si la orientación puede ser revertido. Como tal, el cuártico de Klein es la superficie de Hurwitz del género más bajo posible; véase el teorema de los automorfismos de Hurwitz . Su grupo de automorfismo (que preserva la orientación) es isomorfo a PSL(2, 7) , el segundo grupo simple no abeliano más pequeño después del grupo alterno A 5 . El cuarto se describió por primera vez en (Klein 1878b).
La cuartica de Klein ocurre en muchas ramas de las matemáticas, en contextos que incluyen la teoría de la representación , la teoría de la homología , el último teorema de Fermat y el teorema de Stark-Heegner sobre campos numéricos cuadráticos imaginarios de clase número uno; ver (Levy 1999) para un estudio de propiedades.
Originalmente, la "cuartica de Klein" se refería específicamente al subconjunto del plano proyectivo complejo P 2 ( C ) definido por una ecuación algebraica. Éste tiene una métrica riemanniana específica (que la convierte en una superficie mínima en P 2 ( C ) ), bajo la cual su curvatura gaussiana no es constante. Pero más comúnmente (como en este artículo) ahora se piensa en cualquier superficie de Riemann que sea conformemente equivalente a esta curva algebraica, y especialmente la que es un cociente del plano hiperbólico H 2 por un cierto grupo cocompacto G que actúa libremente. en H 2 por isometrías. Esto le da al cuártico de Klein una métrica riemanniana de curvatura constante −1 que hereda de H 2 . Este conjunto de superficies de Riemann conformemente equivalentes es precisamente el mismo que todas las superficies de Riemann compactas del género 3 cuyo grupo de automorfismo conforme es isomorfo al grupo simple único de orden 168. Este grupo también se conoce como PSL(2, 7) , y también como el grupo isomorfo PSL(3, 2) . Al abarcar la teoría espacial , el grupo G mencionado anteriormente es isomorfo al grupo fundamental de la superficie compacta del género 3 .
Es importante distinguir dos formas diferentes de cuartica. El cuarto cerrado es lo que generalmente se entiende en geometría; topológicamente tiene género 3 y es un espacio compacto . La cuartica abierta o "perforada" es de interés en la teoría de números; topológicamente es una superficie de género 3 con 24 punciones, y geométricamente estas punciones son cúspides . El cuartico abierto se puede obtener (topológicamente) del cuartico cerrado perforando los 24 centros del mosaico mediante heptágonos regulares, como se analiza a continuación. Las cuárticas abiertas y cerradas tienen métricas diferentes, aunque son hiperbólicas y completas [1] ; geométricamente, las cúspides son "puntos en el infinito", no agujeros, por lo que la cuártica abierta sigue siendo completa.
La cuarta ecuación de Klein puede verse como una curva algebraica proyectiva sobre los números complejos C , definida por la siguiente ecuación de cuarta en coordenadas homogéneas [ x : y : z ] en P 2 ( C ) :
El lugar geométrico de esta ecuación en P 2 ( C ) es la superficie riemanniana original que describió Klein.
El cuartico compacto de Klein puede construirse como el cociente del plano hiperbólico mediante la acción de un grupo fucsiano adecuado Γ( I ) , que es el principal subgrupo de congruencia asociado con el ideal en el anillo de enteros algebraicos Z ( η ) del campo Q. ( η ) donde η = 2 cos(2 π /7) . Tenga en cuenta la identidad
exhibiendo 2 – η como factor primo de 7 en el anillo de números enteros algebraicos.
El grupo Γ( I ) es un subgrupo del grupo del triángulo hiperbólico (2,3,7) . Es decir, Γ( I ) es un subgrupo del grupo de elementos de norma unitaria en el álgebra de cuaterniones generado como álgebra asociativa por los generadores i,j y las relaciones
Se elige un orden de cuaternión de Hurwitz adecuado en el álgebra de cuaterniones, Γ ( I ) es entonces el grupo de elementos de norma 1 en . El valor mínimo absoluto de una traza de un elemento hiperbólico en Γ( I ) es , correspondiente al valor 3,936 para la sístole del cuártico de Klein, uno de los más altos de este género.
El cuártico de Klein admite mosaicos conectados con el grupo de simetría (un " mapa regular " [2] ), y estos se utilizan para comprender el grupo de simetría, que se remonta al artículo original de Klein. Dado un dominio fundamental para la acción del grupo (para el grupo completo de simetría con inversión de orientación, un triángulo (2,3,7)), los dominios de reflexión (imágenes de este dominio bajo el grupo) dan un mosaico del cuartico tal que el grupo de automorfismo del mosaico es igual al grupo de automorfismo de la superficie: los reflejos en las líneas del mosaico corresponden a los reflejos en el grupo (los reflejos en las líneas de un triángulo fundamental dado dan un conjunto de 3 reflejos generadores). Este mosaico es un cociente del mosaico heptagonal bisectado de orden 3 del plano hiperbólico (la cubierta universal del cuártico), y todas las superficies de Hurwitz están mosaicos de la misma manera, como cocientes.
Este mosaico es uniforme pero no regular (es por triángulos escalenos ) y, a menudo, en su lugar se utilizan mosaicos regulares. Se puede utilizar un cociente de cualquier mosaico de la familia (2,3,7) (y tendrá el mismo grupo de automorfismo); de estos, los dos mosaicos regulares son el mosaico de 24 heptágonos hiperbólicos regulares , cada uno de grado 3 (que se unen en 56 vértices), y el mosaico dual de 56 triángulos equiláteros , cada uno de grado 7 (que se unen en 24 vértices). El orden del grupo de automorfismos está relacionado, siendo el número de polígonos multiplicado por el número de aristas del polígono en ambos casos.
Los mosaicos de cobertura en el plano hiperbólico son el mosaico heptagonal de orden 3 y el mosaico triangular de orden 7 .
El grupo de automorfismo se puede aumentar (mediante una simetría que no se realiza mediante una simetría del mosaico) para producir el grupo de Mathieu M 24 . [3]
Correspondiente a cada mosaico del cuártico (partición de la variedad cuártica en subconjuntos) hay un poliedro abstracto , que se abstrae de la geometría y solo refleja la combinatoria del mosaico (esta es una forma general de obtener un politopo abstracto a partir de un mosaico) - los vértices, aristas y caras del poliedro son iguales como conjuntos de los vértices, aristas y caras del mosaico, con las mismas relaciones de incidencia, y el grupo de automorfismo (combinatorio) del poliedro abstracto es igual al grupo de automorfismo (geométrico) del cuartico. De esta manera la geometría se reduce a combinatoria.
Lo anterior es un mosaico de la cuarta proyectiva (una variedad cerrada); el cuartico afín tiene 24 cúspides (topológicamente, pinchazos), que corresponden a los 24 vértices del mosaico triangular regular, o de manera equivalente, los centros de los 24 heptágonos en el mosaico heptagonal, y se pueden realizar de la siguiente manera.
Considerando la acción de SL(2, R ) en el modelo de semiplano superior H2 del plano hiperbólico mediante transformaciones de Möbius , la cuartica afín de Klein puede realizarse como el cociente Γ(7)\ H2 . (Aquí Γ(7) es el subgrupo de congruencia de SL(2, Z ) que consta de matrices que son congruentes con la matriz identidad cuando todas las entradas se toman módulo 7.)
La cuartica de Klein se puede obtener como el cociente del plano hiperbólico por la acción de un grupo fucsiano. El dominio fundamental es un gon regular de 14, que tiene área según el teorema de Gauss-Bonnet . Esto se puede observar en la figura adjunta, que incluye también los 336 (2,3,7) triángulos que teselan la superficie y generan su grupo de simetrías.
Dentro del mosaico de triángulos (2,3,7) hay un mosaico de 24 heptágonos regulares. La sístole de la superficie pasa por los puntos medios de 8 lados del heptágono; por esta razón se la ha denominado una "geodésica de ocho pasos" en la literatura, y es la razón del título del libro en la sección siguiente. Todas las curvas coloreadas en la figura que muestra la descomposición de los pantalones son sístoles; sin embargo, esto es solo un subconjunto; hay 21 en total. La duración de la sístole es
Una fórmula cerrada equivalente es
Si bien el cuartico de Klein maximiza el grupo de simetría para superficies del género 3, no maximiza la longitud de la sístole. El maximizador conjeturado es la superficie denominada "M3" (Schmutz 1993). M3 proviene de un mosaico de triángulos (2,3,12) y su sístole tiene multiplicidad 24 y longitud
El cuártico de Klein se puede descomponer en cuatro pares de pantalones cortando seis de sus sístoles. Esta descomposición da un conjunto simétrico de coordenadas Fenchel-Nielsen , donde los parámetros de longitud son todos iguales a la longitud de la sístole y los parámetros de torsión son todos iguales a la longitud de la sístole. En particular, tomando como longitud de sístole, las coordenadas son
La gráfica cúbica correspondiente a esta descomposición de pantalones es la gráfica tetraédrica, es decir, la gráfica de 4 nodos, cada uno conectado entre sí 3. La gráfica tetraédrica es similar a la gráfica del plano proyectivo de Fano ; de hecho, el grupo de automorfismo del cuartico de Klein es isomorfo al del plano de Fano.
Poco se ha demostrado sobre la teoría espectral del cuarto de Klein. Debido a que el cuartico de Klein tiene el grupo de superficies de simetría más grande en su clase topológica, muy parecido a la superficie de Bolza en el género 2, se ha conjeturado que maximiza el primer valor propio positivo del operador de Laplace entre todas las superficies compactas de Riemann del género 3 con constante curvatura negativa. También maximiza la mutliplicidad del primer valor propio positivo (8) entre todas esas superficies, un hecho que se ha demostrado recientemente. [4] Los valores propios del cuártico de Klein se han calculado con distintos grados de precisión. Los primeros 15 valores propios positivos distintos se muestran en la siguiente tabla, junto con sus multiplicidades.
El cuartico de Klein no puede realizarse como una figura tridimensional, en el sentido de que ninguna figura tridimensional tiene simetrías (rotacionales) iguales a PSL(2,7) , ya que PSL(2,7) no se integra como un subgrupo de SO(3) (u O(3) ): no tiene una representación lineal tridimensional (no trivial) sobre los números reales.
Sin embargo, se han proporcionado muchos modelos tridimensionales del cuartico de Klein, comenzando en el artículo original de Klein, [2] [5] [6] [7] [8] que buscan demostrar características del cuartico y preservar las simetrías topológicamente. aunque no todo geométricamente. Los modelos resultantes suelen tener simetrías tetraédricas (orden 12) u octaédricas (orden 24); la simetría de orden 7 restante no se puede visualizar tan fácilmente y, de hecho, es el título del artículo de Klein.
Muy a menudo, el cuartico se modela mediante una superficie lisa de género 3 con simetría tetraédrica (reemplazar los bordes de un tetraedro regular con tubos/asas produce tal forma), que han sido denominados "tetruses", [8] o mediante aproximaciones poliédricas. , que han sido denominados "tetroides"; [8] en ambos casos se trata de una incrustación de la forma en 3 dimensiones. El modelo liso (tetrus) más notable es la escultura The Eightfold Way de Helaman Ferguson en el Instituto de Ciencias Matemáticas Simons Laufer de Berkeley, California , realizada en mármol y serpentina, y presentada el 14 de noviembre de 1993. El título hace referencia a que comenzando en cualquier vértice de la superficie triangulada y moviéndose a lo largo de cualquier arista, si gira alternativamente hacia la izquierda y hacia la derecha al llegar a un vértice, siempre regresa al punto original después de ocho aristas. La adquisición de la escultura condujo a la publicación de un libro de artículos (Levy 1999), que detalla las propiedades del cuartico y contiene la primera traducción al inglés del artículo de Klein. Los modelos poliédricos con simetría tetraédrica suelen tener una carcasa convexa y un tetraedro truncado ; consulte (Schulte & Wills 1985) y (Scholl, Schürmann & Wills 2002) para ejemplos e ilustraciones. Algunos de estos modelos constan de 20 triángulos o 56 triángulos (en resumen, el poliedro sesgado regular {3,7|,4}, con 56 caras, 84 aristas y 24 vértices), que no pueden realizarse como equiláteros, con giros en el brazos del tetraedro; mientras que otros tienen 24 heptágonos; estos heptágonos pueden considerarse planos, aunque no convexos, [9] y los modelos son más complejos que los triangulares porque la complejidad se refleja en las formas de las caras heptagonales (no flexibles). , en lugar de en los vértices (flexibles). [2]
Alternativamente, el cuártico se puede modelar mediante un poliedro con simetría octaédrica: Klein modeló el cuártico mediante una forma con simetrías octaédricas y con puntos en el infinito (un "poliedro abierto"), [6] es decir, tres hiperboloides que se encuentran en ejes ortogonales, [2 ] mientras que también se puede modelar como un poliedro cerrado que debe estar sumergido (tener autointersecciones), no incrustado. [2] Dichos poliedros pueden tener varios cascos convexos, incluido el cubo truncado , [10] el cubo chato , [9] o el rombicuboctaedro , como en el pequeño cúbicocuboctaedro de la derecha. [3] La inmersión del cucuboctaedro pequeño se obtiene uniendo algunos de los triángulos (2 triángulos forman un cuadrado, 6 forman un octágono), que se puede visualizar coloreando los triángulos Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine (el mosaico correspondiente es topológicamente pero no geométricamente el mosaico 3 4 | 4 ). Esta inmersión también se puede utilizar para construir geométricamente el grupo de Mathieu M 24 agregando a PSL(2,7) la permutación que intercambia puntos opuestos de las líneas bisectoras de los cuadrados y octágonos. [3]
El diseño de niño en el cuartico de Klein asociado con el mapa de cociente por su grupo de automorfismo (con cociente la esfera de Riemann) es precisamente el esqueleto 1 del mosaico heptagonal de orden 3. [11] Es decir, el mapa del cociente se ramifica sobre los puntos 0, 1728 y ∞ ; dividir por 1728 produce una función de Belyi (ramificada en 0, 1 y ∞ ), donde los 56 vértices (puntos negros en dessin) se encuentran sobre 0, los puntos medios de las 84 aristas (puntos blancos en dessin) se encuentran sobre 1, y el Los centros de los 24 heptágonos se encuentran sobre el infinito. El diseño resultante es un diseño "platónico", que significa transitivo de borde y "limpio" (cada punto blanco tiene valencia 2).
La cuarta de Klein está relacionada con varias otras superficies de Riemann.
Geométricamente, es la superficie más pequeña de Hurwitz (género más bajo); la siguiente es la superficie de Macbeath (género 7), y la siguiente es el primer triplete de Hurwitz (3 superficies del género 14). De manera más general, es la superficie más simétrica de un género determinado (siendo una superficie de Hurwitz); en esta clase, la superficie de Bolza es la superficie de género 2 más simétrica, mientras que la superficie de Bring es una superficie de género 4 altamente simétrica; consulte las isometrías de las superficies de Riemann para obtener más información.
Algebraicamente, el cuartico de Klein (afín) es la curva modular X(7) y el cuartico de Klein proyectivo es su compactificación, así como el dodecaedro (con una cúspide en el centro de cada cara) es la curva modular X(5); esto explica la relevancia para la teoría de números.
Más sutilmente, el cuártico (proyectivo) de Klein es una curva de Shimura (al igual que las superficies de Hurwitz de los géneros 7 y 14) y, como tal, parametriza principalmente variedades abelianas polarizadas de dimensión 6. [12]
Más excepcionalmente, el cuartico de Klein forma parte de una " trinidad " en el sentido de Vladimir Arnold , que también puede describirse como una correspondencia de McKay . En esta colección, los grupos lineales especiales proyectivos PSL(2,5), PSL(2,7) y PSL(2,11) (órdenes 60, 168, 660) son análogos. Tenga en cuenta que 4 × 5 × 6/2 = 60, 6 × 7 × 8/2 = 168 y 10 × 11 × 12/2 = 660. Estos corresponden a la simetría icosaédrica (género 0), las simetrías del cuartico de Klein ( género 3) y la superficie de buckyball (género 70). [13] Estos están además relacionados con muchos otros fenómenos excepcionales, que se elaboran en las " trinidades ".
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