Par de pantalones (matemáticas)

Esfera de tres agujeros

Un pantalón representado en el espacio, con su límite coloreado en rojo.

En matemáticas , un par de pantalones es una superficie homeomorfa a la esfera de tres agujeros . El nombre proviene de considerar uno de los discos extraídos como la cintura y los otros dos como los puños de un pantalón .

Según diversas teorías , los pantalones se utilizan como bloques de construcción para superficies compactas . Dos aplicaciones importantes son la geometría hiperbólica , donde se utilizan descomposiciones de superficies cerradas en pares de pantalones para construir las coordenadas Fenchel-Nielsen en el espacio de Teichmüller , y en la teoría cuántica topológica de campos , donde son los cobordismos no triviales más simples entre variedades unidimensionales. .

Descomposición de pantalones y pantalones.

Pantalones como superficies topológicas.

Un par de pantalones como dominio plano (en azul, con el límite en rojo)

Un par de pantalones es cualquier superficie homeomorfa a una esfera con tres agujeros, que formalmente es el resultado de retirar de la esfera tres discos abiertos con cierres disjuntos por pares. Así, un par de pantalones es una superficie compacta de género cero con tres componentes límite .

La característica de Euler de un par de pantalones es igual a −1, y la única otra superficie con esta propiedad es el toro perforado (un toro menos un disco abierto).

Descomposiciones de pantalones

Dos descomposiciones de pantalones diferentes para la superficie del género 2.

La importancia de los pares de pantalones en el estudio de superficies surge de la siguiente propiedad: definir la complejidad de una superficie compacta conectada de género con componentes límite como , y para una superficie no conectada tomar la suma de todos los componentes. Entonces las únicas superficies con característica de Euler negativa y complejidad cero son las uniones disjuntas de pares de pantalones. Además, para cualquier superficie y cualquier curva cerrada simple en la que no sea homotópica a un componente límite, la superficie compacta obtenida cortando tiene una complejidad estrictamente menor que . En este sentido, los pares de pantalones son las únicas superficies "irreductibles" entre todas las superficies de característica de Euler negativa. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \xi (S)=3g-3+k}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S}$

Por un argumento de recursividad, esto implica que para cualquier superficie existe un sistema de curvas cerradas simples que cortan la superficie en pares de pantalones. Esto se llama descomposición de pantalones para la superficie y las curvas se llaman puños de descomposición. Esta descomposición no es única, pero al cuantificar el argumento se ve que todas las descomposiciones en pantalones de una superficie determinada tienen el mismo número de curvas, que es exactamente la complejidad. ^[1] Para superficies conectadas, una descomposición de pantalones tiene exactamente pantalones. ${\displaystyle 2g-2+k}$

Una colección de curvas cerradas simples en una superficie es una descomposición de pantalones si y solo si son disjuntas, no hay dos de ellas homotópicas y ninguna es homotópica a un componente límite, y la colección es máxima para estas propiedades.

El complejo de los pantalones

Movimientos elementales entre descomposición de pantalones.

Una superficie dada tiene infinitas descomposiciones de pantalones distintas (entendemos que dos descomposiciones son distintas cuando no son homotópicas). Una forma de intentar entender las relaciones entre todas estas descomposiciones es el complejo de pantalones asociado a la superficie . Este es un gráfico con conjunto de vértices, las descomposiciones de pantalones , y dos vértices se unen si están relacionados por un movimiento elemental, que es una de las dos operaciones siguientes: ${\displaystyle S}$

• tomar una curva en la descomposición en un toroide de un agujero y reemplazarla por una curva en el toro que lo interseca solo una vez, ${\displaystyle \alpha }$
• tome una curva en la descomposición en una esfera de cuatro agujeros y reemplácela por una curva en la esfera que la interseca solo dos veces. ${\displaystyle \alpha }$

El complejo de pantalones está conexo ^[2] (lo que significa que dos descomposiciones de pantalones cualesquiera están relacionadas por una secuencia de movimientos elementales) y tiene un diámetro infinito (lo que significa que no hay un límite superior en el número de movimientos necesarios para pasar de una descomposición a la otra) . En el caso particular de que la superficie tenga complejidad 1, el complejo de pantalones es isomorfo al gráfico de Farey .

La acción del grupo de clases de mapeo sobre el complejo de pantalones es de interés para estudiar este grupo. Por ejemplo, Allen Hatcher y William Thurston lo han utilizado para dar una prueba del hecho de que se presenta de forma finita .

Pantalones en geometría hiperbólica

Espacio de módulos de pantalones hiperbólicos.

Las interesantes estructuras hiperbólicas de un pantalón se clasifican fácilmente. ^[3]

Para todos existe una superficie hiperbólica que es homeomorfa a un par de pantalones y cuyos componentes límite son geodésicas cerradas simples de longitudes iguales a . Una superficie de este tipo está determinada únicamente por la isometría . ${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}}$ ${\displaystyle \ell _{i}}$

Al tomar la longitud de un puño como igual a cero, se obtiene una métrica completa en el par de pantalones menos el puño, que se reemplaza por una cúspide . Esta estructura es de volumen finito.

Pantalones y hexágonos

La prueba geométrica de la clasificación del párrafo anterior es importante para comprender la estructura de los pantalones hiperbólicos. Procede de la siguiente manera: Dado un par de pantalones hiperbólicos con límite totalmente geodésico, existen tres arcos geodésicos únicos que unen los puños por pares y que son perpendiculares a ellos en sus extremos. Estos arcos se llaman costuras de los pantalones.

Al cortar los pantalones a lo largo de las costuras, se obtienen dos hexágonos hiperbólicos en ángulo recto que tienen tres lados alternos de longitudes iguales. El siguiente lema se puede demostrar con geometría hiperbólica elemental. ^[4]

Si dos hexágonos hiperbólicos rectangulares tienen cada uno tres lados alternos de longitudes iguales, entonces son isométricos entre sí.

Entonces vemos que el par de pantalones es el doble de un hexágono rectángulo en lados alternos. Dado que la clase de isometría del hexágono también está determinada inequívocamente por las longitudes de los tres lados alternos restantes, la clasificación de los pantalones se deriva de la de los hexágonos.

Cuando la longitud de un puño es cero, se reemplaza el lado correspondiente en el hexágono rectángulo por un vértice ideal.

Coordenadas de Fenchel-Nielsen

Un punto en el espacio de Teichmüller de una superficie está representado por un par donde hay una superficie hiperbólica completa y un difeomorfismo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (M,f)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:S\to M}$

Si se tiene una descomposición de pantalones por curvas , entonces se pueden parametrizar los pares de Teichmüller mediante las coordenadas Fenchel-Nielsen que se definen a continuación. Las longitudes de los brazaletes son simplemente las longitudes de las geodésicas cerradas homotópicas al . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle \ell _{i}}$ ${\displaystyle f(\gamma _{i})}$

Los parámetros de torsión son más difíciles de definir. Corresponden a cuánto se gira al pegar dos pantalones : esto los define módulo . Se puede refinar la definición (usando continuación analítica ^[5] o técnicas geométricas) para obtener parámetros de torsión valorados en (aproximadamente, el punto es que cuando uno hace una vuelta completa cambia el punto en el espacio de Teichmüller precomponiendo con una torsión de Dehn alrededor ). ${\displaystyle \tau _{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle \ell _{i}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$

El complejo de pantalones y la métrica de Weil-Petersson

Se puede definir un mapa desde el complejo de pantalones hasta el espacio de Teichmüller, que lleva una descomposición de pantalones a un punto elegido arbitrariamente en la región donde la parte del puño de las coordenadas Fenchel-Nielsen está limitada por una constante lo suficientemente grande. Se trata de una cuasiisometría cuando el espacio de Teichmüller está dotado de la métrica de Weil-Petersson , lo que ha resultado útil en el estudio de esta métrica. ^[6]

Pares de pantalones y grupos Schottky

Estas estructuras corresponden a grupos de Schottky en dos generadores (más precisamente, si el cociente del plano hiperbólico por un grupo de Schottky en dos generadores es homeomorfo al interior de un par de pantalones, entonces su núcleo convexo es un par de pantalones hiperbólicos como se describió anteriormente). , y todos se obtienen como tales).

Cobordismos bidimensionales

Este cobordismo de vínculo entre el vínculo de Hopf y el desvinculación es topológicamente un par de pantalones.

Un cobordismo entre dos variedades cerradas n -dimensionales es una variedad compacta ( n +1) -dimensional cuyo límite es la unión disjunta de las dos variedades. La categoría de cobordismos de dimensión n +1 es la categoría con objetos las variedades cerradas de dimensión n , y morfismos los cobordismos entre ellos (tenga en cuenta que la definición de cobordismo incluye la identificación del límite de las variedades). Tenga en cuenta que uno de los colectores puede estar vacío; en particular, una variedad cerrada de dimensión n +1 se considera un endomorfismo del conjunto vacío . También se pueden componer dos cobordismos cuando el final del primero es igual al inicio del segundo. Una teoría de campos cuánticos topológicos de n dimensiones (TQFT) es un functor monoidal de la categoría de n -cobordismos a la categoría de espacio vectorial complejo (donde la multiplicación viene dada por el producto tensorial).

En particular, los cobordismos entre variedades unidimensionales (que son uniones de círculos) son superficies compactas cuyo límite se ha separado en dos uniones de círculos disjuntas. Los TQFT bidimensionales corresponden a las álgebras de Frobenius , donde el círculo (la única variedad 1 cerrada conectada) se asigna al espacio vectorial subyacente del álgebra, mientras que el par de pantalones proporciona un producto o coproducto, dependiendo de cómo se agrupan los componentes de los límites. – que es conmutativo o cocommutativo. Además, el mapa asociado con un disco proporciona una unidad (traza) o una unidad (escalares), dependiendo de la agrupación de límites, que completa la correspondencia.

Notas

1. Ratcliffe 2006, Teorema 9.7.1.
2. Hatcher y Thurston 1980.
3. Ratcliffe 2006, Teorema 9.7.3.
4. Ratcliffe 2006, Teorema 3.5.14.
5. Imayoshi y Taniguchi 1992, pág. 63.
6. Brock, Jeff (2002). "Descomposiciones de pantalones y la métrica de Weil-Petersson". En Earle, Clifford J.; Harvey, William J.; Recillas-Pishmish, Sevín (eds.). Colectores complejos y geometría hiperbólica . Matemáticas Contemporáneas. vol. 311. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 27–40. doi :10.1090/conm/311/05445. ISBN 978-0-8218-7901-6.

Referencias

• Hatcher, Allen; Thurston, William (1980). "Una presentación para el grupo de la clase de mapeo de una superficie orientable cerrada". Topología . 19 (3): 221–237. doi :10.1016/0040-9383(80)90009-9.
• Imayoshi, Yôichi; Taniguchi, Masahiko (1992). Una introducción a los espacios de Teichmüller . Saltador. págs. xiv+279. ISBN 4-431-70088-9.
• Ratcliffe, John (2006). Fundamentos de variedades hiperbólicas, Segunda edición . Saltador. págs. xii+779. ISBN 978-0387-33197-3.