Doble (variedad)

En la materia de teoría de variedades en matemáticas , si es una variedad topológica con borde , su doble se obtiene pegando dos copias de juntas a lo largo de su borde común. Precisamente, el doble es donde para todo . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times \{0,1\}/\sim }$ ${\displaystyle (x,0)\sim (x,1)}$ ${\displaystyle x\in \partial M}$

Si tiene una estructura suave, entonces su doble puede estar dotado de una estructura suave gracias a una vecindad de collar . ^{[1] : tes. 9.29 y ej. 9.32} ${\displaystyle M}$

Aunque el concepto tiene sentido para cualquier variedad, e incluso para algunos conjuntos no múltiples como la esfera con cuernos de Alexander , la noción de doble tiende a usarse principalmente en el contexto que no es vacío y es compacto . ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle M}$

Dobles límites

Dada una variedad , el doble de es el límite de . Esto confiere a los dobles un papel especial en el cobordismo . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times [0,1]}$

Ejemplos

La n -esfera es el doble de la n -bola . En este contexto, las dos bolas serían el hemisferio superior y el inferior respectivamente. De manera más general, si es cerrado, el doble de es . De manera aún más general, el doble de un fibrado de discos sobre una variedad es un fibrado de esferas sobre la misma variedad. De manera más concreta, el doble de la banda de Möbius es la botella de Klein . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times D^{k}}$ ${\displaystyle M\times S^{k}}$

Si es una variedad cerrada y orientada y si se obtiene de eliminando una bola abierta, entonces la suma conexa es el doble de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M'}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M{\mathrel {\#}}-M}$ ${\displaystyle M'}$

El doble de una variedad de Mazur es una 4-esfera de homotopía . ^[2]

Referencias

1. Lee, John (2012), Introducción a las variedades suaves, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 218, Springer, ISBN 9781441999825
2. Aitchison, IR; Rubinstein, JH (1984), "Nudos fibrosos e involuciones en esferas de homotopía", Teoría de cuatro variedades (Durham, NH, 1982) , Contemp. Math., vol. 35, Amer. Math. Soc., Providence, RI, págs. 1–74, doi :10.1090/conm/035/780575, MR  0780575. Véase en particular la pág. 24.