En matemáticas, la métrica de Weil–Petersson es una métrica de Kähler sobre el espacio de Teichmüller T g , n de superficies de Riemann de género g con n puntos marcados. Fue introducida por André Weil (1958, 1979) utilizando el producto interno de Petersson sobre formas sobre una superficie de Riemann (introducido por Hans Petersson ).
Definición
Si un punto del espacio de Teichmüller está representado por una superficie de Riemann R , entonces el espacio cotangente en ese punto puede identificarse con el espacio de diferenciales cuadráticas en R . Dado que la superficie de Riemann tiene una métrica hiperbólica natural , al menos si tiene característica de Euler negativa , se puede definir un producto interno hermítico en el espacio de diferenciales cuadráticas integrando sobre la superficie de Riemann. Esto induce un producto interno hermítico en el espacio tangente a cada punto del espacio de Teichmüller y, por lo tanto, una métrica riemanniana.
Propiedades
Weil (1958) afirmó, y Ahlfors (1961) demostró, que la métrica de Weil-Petersson es una métrica de Kähler . Ahlfors (1961b) demostró que tiene curvaturas holomorfas seccionales , escalares y de Ricci negativas . La métrica de Weil-Petersson no suele ser completa.
Generalizaciones
La métrica de Weil-Petersson se puede definir de manera similar para algunos espacios de módulos de variedades de dimensiones superiores.
Véase también
Referencias
- Ahlfors, Lars V. (1961), "Algunas observaciones sobre el espacio de superficies de Riemann de Teichmüller", Annals of Mathematics , Segunda serie, 74 (1): 171–191, doi :10.2307/1970309, hdl : 2027/mdp.39015095258003 , JSTOR 1970309, MR 0204641
- Ahlfors, Lars V. (1961b), "Propiedades de curvatura del espacio de Teichmüller", Journal d'Analyse Mathématique , 9 : 161–176, doi : 10.1007/BF02795342 , hdl : 2027/mdp.39015095248350 , MR 0136730, S2CID 124921349
- Weil, André (1958), "Módulos de superficies de Riemann", Séminaire Bourbaki; 10e año: 1957/1958. Textos de conferencias; Exposés 152à 168; 2e éd.corrigée, Exposé 168 (en francés), París: Secrétariat Mathématique, págs. 413–419, MR 0124485, Zbl 0084.28102
- Weil, André (1979) [1958], "Sobre los módulos de las superficies de Riemann", Scientific works. Collected papers. Vol. II (1951--1964), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 381–389, ISBN 978-0-387-90330-9, Sr. 0537935
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Enlaces externos
- Métrica de Weil-Petersson en nLab
