Barrio de la cúspide

Vecindad de una singularidad de tipo cúspide

En matemáticas , una vecindad de cúspide se define como un conjunto de puntos cerca de una singularidad de cúspide .

Vecindad de cúspides para una superficie de Riemann

La vecindad de la cúspide de una superficie hiperbólica de Riemann se puede definir en términos de su modelo fucsiano .

Supongamos que el grupo fucsiano G contiene un elemento parabólico g. Por ejemplo, el elemento t ∈ SL(2, Z ) donde

${\displaystyle t(z)={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}:z={\frac {1\cdot z+1}{0\cdot z+1}}=z+1}$

es un elemento parabólico. Tenga en cuenta que todos los elementos parabólicos de SL(2, C ) están conjugados con este elemento. Es decir, si g ∈ SL(2, Z ) es parabólico, entonces para algunos h ∈ SL(2, Z ). ${\displaystyle g=h^{-1}th}$

El conjunto

${\displaystyle U=\{z\in \mathbf {H} :\Im z>1\}}$

donde H es el semiplano superior tiene

${\displaystyle \gamma (U)\cap U=\emptyset }$

por any donde se entiende el grupo generado por g . Es decir, γ actúa propiamente de forma discontinua sobre U. Debido a esto, se puede ver que la proyección de U sobre H / G es así ${\displaystyle \gamma \in G-\langle g\rangle }$ ${\displaystyle \langle g\rangle }$

${\displaystyle E=U/\langle g\rangle }$.

Aquí, E se llama vecindad de la cúspide correspondiente a g .

Tenga en cuenta que el área hiperbólica de E es exactamente 1, cuando se calcula utilizando la métrica canónica de Poincaré . Esto se ve más fácilmente con un ejemplo: considere la intersección de U definida anteriormente con el dominio fundamental

${\displaystyle \left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\frac {1}{2}}\right\}}$

del grupo modular , como sería apropiado para la elección de T como elemento parabólico. Cuando se integra sobre el elemento de volumen

${\displaystyle d\mu ={\frac {dxdy}{y^{2}}}}$

el resultado es trivialmente 1. Las áreas de todas las vecindades de las cúspides son iguales a esto, por la invariancia del área bajo conjugación.

Referencias