Teoría diferencial de Galois

Estudio de los grupos de simetría de Galois de campos diferenciales

En matemáticas, la teoría diferencial de Galois es el campo que estudia las extensiones de los campos diferenciales .

Descripción general

Mientras que la teoría algebraica de Galois estudia extensiones de campos algebraicos , la teoría diferencial de Galois estudia extensiones de campos diferenciales , es decir, campos que están equipados con una derivación , D. Gran parte de la teoría de la teoría diferencial de Galois es paralela a la teoría algebraica de Galois. Una diferencia entre las dos construcciones es que los grupos de Galois en la teoría diferencial de Galois tienden a ser grupos de Lie matriciales , en comparación con los grupos finitos que se encuentran a menudo en la teoría algebraica de Galois.

Motivación y conceptos básicos

En matemáticas , algunos tipos de funciones elementales no pueden expresar las integrales indefinidas de otras funciones elementales. Un ejemplo conocido es , cuya integral indefinida es la función error , familiar en estadística . Otros ejemplos incluyen la función sinc y . ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {erf} x}$ ${\displaystyle {\tfrac {\sin x}{x}}}$ ${\displaystyle x^{x}}$

Es importante señalar que el concepto de funciones elementales es meramente convencional. Si redefinimos las funciones elementales para incluir la función de error, entonces, según esta definición, la integral indefinida de se consideraría una función elemental. Sin embargo, sin importar cuántas funciones se agreguen a la definición de funciones elementales, siempre habrá funciones cuyas integrales indefinidas no sean elementales. ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$

Utilizando la teoría de la teoría diferencial de Galois , es posible determinar qué integrales indefinidas de funciones elementales no pueden expresarse como funciones elementales. La teoría diferencial de Galois se basa en el marco de la teoría de Galois . Mientras que la teoría algebraica de Galois estudia extensiones de campos de campos , la teoría diferencial de Galois estudia extensiones de campos diferenciales —campos con una derivación D— .

La mayor parte de la teoría diferencial de Galois es análoga a la teoría algebraica de Galois. La diferencia significativa en la estructura es que el grupo de Galois en la teoría diferencial de Galois es un grupo algebraico , mientras que en la teoría algebraica de Galois es un grupo profinito equipado con la topología de Krull .

Definición

Para cualquier campo diferencial F con derivación D , existe un subcampo llamado campo de constantes de F , definido como:

Con( F ) = { f ∈ F | Df = 0}.

El campo de constantes contiene el campo primo de F .

Dados dos campos diferenciales F y G , G se llama una extensión diferencial simple de F si ^[1] y satisface

∃ s ∈ F ; Dt = Ds / s ,

Entonces G se llama una extensión logarítmica de F.

Esto tiene la forma de una derivada logarítmica. Intuitivamente, t puede considerarse como el logaritmo de algún elemento s en F , correspondiente a la regla de la cadena habitual. F no necesariamente tiene un logaritmo definido de manera única. Se pueden considerar varias extensiones logarítmicas de F. De manera similar, una extensión logarítmica satisface

∃ s ∈ F ; Dt = tDs ,

y una extensión diferencial satisface

∃ s ∈ F ; Dt = s .

Una extensión diferencial o extensión exponencial se convierte en una extensión de Picard-Vessiot cuando el campo tiene característica cero y los campos constantes de los campos extendidos coinciden.

Teniendo en cuenta la advertencia anterior, este elemento puede considerarse como el exponencial de un elemento s en F. Finalmente, si hay una secuencia finita de campos intermedios de F a G con Con( F ) = Con( G ), de modo que cada extensión en la secuencia es una extensión algebraica finita, una extensión logarítmica o una extensión exponencial, entonces G se denomina una extensión diferencial elemental .

Consideremos la ecuación diferencial lineal homogénea para : ${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}\in F}$

${\displaystyle D^{n}y+a_{1}D^{n-1}y+\cdots +a_{n-1}Dy+a_{n}y=0}$　… (1).

Existen como máximo n soluciones linealmente independientes sobre el campo de constantes. Una extensión G de F es una extensión de Picard-Vessiot para la ecuación diferencial (1) si G es generada por todas las soluciones de (1) y satisface Con( F ) = Con( G ).

Una extensión G de F es una extensión de Liouville si Con( F ) = Con( G ) es un campo algebraicamente cerrado y existe una cadena creciente de subcampos

F = F ₀ ⊂ F ₁ ⊂ … ⊂ F _n = G

de manera que cada extensión F _{k +1}  : F _k es una extensión algebraica finita, una extensión diferencial o una extensión exponencial. Una extensión de Liouville del campo de funciones racionales C ( x ) consiste en funciones obtenidas por combinaciones finitas de funciones racionales, funciones exponenciales, raíces de ecuaciones algebraicas y sus integrales indefinidas. Claramente, las funciones logarítmicas, las funciones trigonométricas y sus inversas son funciones de Liouville sobre C ( x ), y especialmente las extensiones diferenciales elementales son extensiones de Liouville.

Un ejemplo de una función que está contenida en una extensión elemental sobre C ( x ) pero no en una extensión de Liouville es la integral indefinida de . ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$

Propiedades básicas

Para un campo diferencial F , si G es una extensión algebraica separable de F , la derivación de F se extiende de manera única a una derivación de G . Por lo tanto, G hereda de manera única la estructura diferencial de F .

Supóngase que F y G son campos diferenciales que satisfacen Con( F ) = Con( G ), y G es una extensión diferencial elemental de F . Sean a ∈ F e y ∈ G tales que Dy = a (es decir, G contiene la integral indefinida de a ). Entonces existen c ₁ , …, c _n ∈ Con( F ) y u ₁ , …, u _n , v ∈ F tales que

${\displaystyle a=c_{1}{\frac {Du_{1}}{u_{1}}}+\dotsb +c_{n}{\frac {Du_{n}}{u_{n}}}+Dv}$

(Teorema de Liouville). En otras palabras, sólo las funciones cuyas integrales indefinidas son elementales (es decir, en el peor de los casos contenidas dentro de la extensión diferencial elemental de F ) tienen la forma establecida en el teorema. Intuitivamente, sólo las integrales indefinidas elementales pueden expresarse como la suma de un número finito de logaritmos de funciones simples.

Si G / F es una extensión de Picard-Vessiot, entonces el hecho de que G sea una extensión de Liouville de F es equivalente a que el grupo de Galois diferencial tenga un componente identidad resoluble. ^[2] Además, el hecho de que G sea una extensión de Liouville de F es equivalente a que G sea integrable en algún campo de extensión de Liouville de F.

Ejemplos

• El campo de funciones racionales de una variable compleja C ( x ) se convierte en un campo diferencial al tomar como derivación la derivación usual respecto de la variable x . El campo de constantes de este campo es el campo de números complejos C .

• Por el teorema de Liouville mencionado anteriormente, si f ( z ) y g ( z ) son funciones racionales en z , f ( z ) no es cero y g ( z ) no es constante, entonces es una función elemental si y solo si existe una función racional h ( z ) tal que . El hecho de que la función error y la integral seno (integral indefinida de la función sinc ) no se puedan expresar como funciones elementales se sigue inmediatamente de esta propiedad. ${\displaystyle \textstyle \int f(z)e^{g(z)}\,dz}$ ${\displaystyle f(z)=h'(z)+h(z)g'(z)\,}$

• En el caso de la ecuación diferencial , el grupo de Galois es el grupo multiplicativo de los números complejos con valor absoluto 1, también conocido como grupo del círculo . Este es un ejemplo de grupo resoluble y, de hecho, las soluciones de esta ecuación diferencial son funciones elementales (funciones trigonométricas en este caso). ${\displaystyle y''+y=0}$

• El grupo de Galois diferencial de la ecuación de Airy , , sobre los números complejos es el grupo lineal especial de grado dos, SL(2,C). Este grupo no es resoluble, lo que indica que sus soluciones no se pueden expresar mediante funciones elementales. En cambio, las soluciones se conocen como funciones de Airy. ${\displaystyle y''-xy=0}$

Aplicaciones

La teoría diferencial de Galois tiene numerosas aplicaciones en matemáticas y física. Se utiliza, por ejemplo, para determinar si una ecuación diferencial dada puede resolverse por cuadratura (integración). También tiene aplicaciones en el estudio de sistemas dinámicos, incluida la integrabilidad de sistemas hamiltonianos en mecánica clásica.

Una aplicación importante es el análisis de las condiciones de integrabilidad de ecuaciones diferenciales, lo que tiene implicaciones en el estudio de simetrías y leyes de conservación en física.

Véase también

• Teoría de Picard-Vessiot

Referencias

1. G es una extensión diferencial simple de F si para algún elemento t , G = F < t > := F ( t , Dt , D ( Dt ), …).
2. El componente conexo que contiene la identidad de un grupo algebraico se denomina componente identidad y forma un subgrupo normal.

Fuentes

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