Norma que deben satisfacer los diagramas hasta el isomorfismo
En matemáticas , específicamente en la teoría de homotopía y la teoría de categorías (superiores) , la coherencia es el estándar que las igualdades o diagramas deben satisfacer cuando se mantienen " hasta la homotopía " o "hasta el isomorfismo ".
Los adjetivos como "pseudo-" y "lax-" se utilizan para referirse al hecho de que las igualdades se debilitan de formas coherentes; por ejemplo, pseudo-functor , pseudoálgebra .
Isomorfismo coherente
En algunas situaciones, los isomorfismos deben elegirse de manera coherente. A menudo, esto se puede lograr eligiendo isomorfismos canónicos . Pero en algunos casos, como en los preapilados , puede haber varios isomorfismos canónicos y puede que no haya una elección obvia entre ellos.
En la práctica, los isomorfismos coherentes surgen debilitando las igualdades; por ejemplo, la asociatividad estricta puede ser reemplazada por la asociatividad mediante isomorfismos coherentes. Por ejemplo, mediante este proceso, se obtiene la noción de 2-categoría débil a partir de la de 2-categoría estricta .
La sustitución de isomorfismos coherentes por igualdades se denomina habitualmente estrictificación o rectificación.
Teorema de coherencia
El teorema de coherencia de Mac Lane establece, en términos generales, que si los diagramas de ciertos tipos conmutan , entonces los diagramas de todos los tipos conmutan. [1] Una prueba simple de ese teorema se puede obtener usando el permutoasociaedro , un politopo cuya estructura combinatoria aparece implícitamente en la prueba de Mac Lane. [2]
Existen varias generalizaciones del teorema de coherencia de Mac Lane. [3] Cada una de ellas tiene la forma aproximada de que "toda estructura débil de algún tipo es equivalente a una más estricta". [4]
Coherencia de homotopía
Véase también
Notas
- ^ Mac Lane 1978, Capítulo VII, Sección 2
- ^ Véase Kapranov 1993 y Reiner & Ziegler 1994
- ^ Véase, por ejemplo, el teorema de coherencia (nlab)
- ^ Shulman 2012, Sección 1
Referencias
- Cordier, Jean-Marc; Porter, Timothy (1997). "Teoría de categorías coherentes de homotopía". Transactions of the American Mathematical Society . 349 (1): 1–54. doi : 10.1090/S0002-9947-97-01752-2 .
- § 5. de Mac Lane, Saunders (enero de 1976). "Topología y lógica como fuente de álgebra (discurso presidencial saliente)". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 82 (1): 1–40. doi : 10.1090/S0002-9904-1976-13928-6 .
- Mac Lane, Saunders (1978) [1971]. Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 5. Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4757-4721-8 . ISBN . 978-1-4419-3123-8.
- Cap. 5 de Kamps, Klaus Heiner; Porter, Timothy (abril de 1997). Homotopía abstracta y teoría de la homotopía simple . World Scientific. doi :10.1142/2215. ISBN 9810216025.
- Shulman, Mike (2012). "No toda pseudoálgebra es equivalente a una estricta". Avances en Matemáticas . 229 (3): 2024–2041. arXiv : 1005.1520 . doi : 10.1016/j.aim.2011.01.010 .
- Kapranov, Mikhail M. (1993). "El permutoasociaedro, el teorema de coherencia de Mac Lane y las zonas asintóticas para la ecuación KZ". Journal of Pure and Applied Algebra . 85 (2): 119–142. doi :10.1016/0022-4049(93)90049-Y.
- Reiner, Víctor; Ziegler, Günter M. (1994). "Coxeter-asociaedra". Matemática . 41 (2): 364–393. doi :10.1112/S0025579300007452.
- Porter, Tim (2001) [1994], "Coherencia de homotopía", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Cordier, Jean-Marc (1982). "Sobre la noción de diagrama homotopiquement coherente". Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques . 23 (1): 93-112. ISSN 1245-530X.
Lectura adicional
- Saunders Mac Lane, Topología y lógica como fuente de álgebra (discurso presidencial saliente), Boletín de la AMS 82:1, enero de 1976.
Enlaces externos
- https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+coherent+diagram
- https://unapologetic.wordpress.com/2007/07/01/the-strictification-theorem/
