permutoasociaedro

Politopo

El permutoasociaedro de dimensión y la correspondencia entre sus vértices y las permutaciones entre corchetes de tres términos , y . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Las cuatro facetas del permutoasociaedro de dimensión que comparten vértice . Tres de estas facetas son cuadriláteros y la cuarta es un pentágono. ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle (ab)(cd)}$

En matemáticas, el permutoasociaedro es un politopo dimensional cuyos vértices corresponden a los corchetes de las permutaciones de términos y cuyos bordes conectan dos corchetes que se pueden obtener entre sí moviendo un par de corchetes usando asociatividad o transponiendo dos términos consecutivos que no están separados por un corchete. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$

El permutoasociaedro fue definido por primera vez como un complejo CW por Mikhail Kapranov, quien señaló que esta estructura aparece implícitamente en el teorema de coherencia de Mac Lane para categorías simétricas y trenzadas, así como en el trabajo de Vladimir Drinfeld sobre las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov . ^[1] Fue construido como un politopo convexo por Victor Reiner y Günter M. Ziegler . ^[2]

Ejemplos

Cuando , los vértices del permutoasociaedro se pueden representar poniendo entre paréntesis todas las permutaciones de tres términos , y . Hay seis permutaciones de este tipo, , , , , y , y cada una de ellas admite dos corchetes (obtenidos uno del otro por asociatividad). Por ejemplo, puede estar entre corchetes como o como . Por lo tanto, el permutoasociaedro -dimensional es el dodecágono con vértices , , , , , , , , , , y . ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle abc}$ ${\displaystyle acb}$ ${\displaystyle bac}$ ${\displaystyle bca}$ ${\displaystyle cab}$ ${\displaystyle cba}$ ${\displaystyle abc}$ ${\displaystyle (ab)c}$ ${\displaystyle a(bc)}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle a(bc)}$ ${\displaystyle a(cb)}$ ${\displaystyle (ac)b}$ ${\displaystyle (ca)b}$ ${\displaystyle c(ab)}$ ${\displaystyle c(ba)}$ ${\displaystyle (cb)a}$ ${\displaystyle (bc)a}$ ${\displaystyle b(ca)}$ ${\displaystyle b(ac)}$ ${\displaystyle (ba)c}$ ${\displaystyle (ab)c}$

Cuando , el vértice es adyacente a exactamente otros tres vértices del permutoasociaedro: , y . Los dos primeros vértices se alcanzan mediante asociatividad y el tercero mediante una transposición. El vértice es adyacente a cuatro vértices. Dos de ellos, y , se alcanzan mediante asociatividad, y los otros dos, y , mediante una transposición. Esto ilustra que, en dimensión y superiores, el permutoasociaedro no es un simple politopo . ^[3] ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle ((ab)c)d}$ ${\displaystyle (ab)(cd)}$ ${\displaystyle (a(bc))d}$ ${\displaystyle ((ba)c)d}$ ${\displaystyle ((ab)c)d}$ ${\displaystyle (ab)(cd)}$ ${\displaystyle ((ab)c)d}$ ${\displaystyle a(b(cd))}$ ${\displaystyle (ba)(cd)}$ ${\displaystyle (ab)(dc)}$ ${\displaystyle 3}$

Propiedades

El permutoasociaedro -dimensional tiene ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n!{2n \choose n}}$

vértices. Este es el producto entre el número de permutaciones de términos y el número de todos los posibles corchetes de cualquier permutación. El primer número es igual al factorial y el segundo es el décimo número catalán . ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle (n+1)!}$ ${\displaystyle n}$

Por su descripción en términos de permutaciones entre corchetes, el 1-esqueleto del permutoasociaedro es un gráfico de inversión con dos tipos diferentes de inversiones (asociatividad y transposiciones).

Ver también

• permutoedro
• asociaedro
• cicloedro

Referencias

1. Kapranov, Mikhail M. (1993). "El permutoasociaedro, teorema de coherencia de Mac Lane y zonas asintóticas para la ecuación KZ". Revista de Álgebra Pura y Aplicada . 85 (2): 119-142. doi :10.1016/0022-4049(93)90049-Y.
2. Reiner, Víctor; Ziegler, Gunter M. (1994). "Coxeter-asociaedra". Matemática . 41 (2): 364–393. doi :10.1112/S0025579300007452.
3. Baralić, Djordje; Ivanović, Jelena; Petrić, Zoran (diciembre de 2019). "Un permutoasociaedro simple". Matemáticas discretas . 342 (12): 111591. arXiv : 1708.02482 . doi :10.1016/j.disc.2019.07.007.