cicloedro

El cicloedro -dimensional y la correspondencia entre sus vértices y aristas con un ciclo en tres vértices ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle W_{3}}$

En geometría , el cicloedro es un politopo bidimensional donde puede ser cualquier número entero no negativo. Fue introducido por primera vez como un objeto combinatorio por Raoul Bott y Clifford Taubes ^[1] y, por esta razón, a veces también se le llama politopo de Bott-Taubes . Posteriormente fue construido como politopo por Martin Markl ^[2] y por Rodica Simion . ^[3] Rodica Simion describe este politopo como un asociaedro de tipo B. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

El cicloedro aparece en el estudio de las invariantes de nudos . ^[4]

Construcción

Los cicloedros pertenecen a varias familias más grandes de politopos, cada una de las cuales proporciona una construcción general. Por ejemplo, el cicloedro pertenece a los asociaedros generalizados ^[5] que surgen del álgebra de conglomerados , y a los asociaedros de grafos, ^[6] una familia de politopos, cada uno de los cuales corresponde a un grafo . En esta última familia, el gráfico correspondiente al cicloedro -dimensional es un ciclo sobre vértices. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d+1}$

En términos topológicos, el espacio de configuración de distintos puntos en el círculo es una variedad -dimensional , que se puede compactar en una variedad con esquinas permitiendo que los puntos se acerquen entre sí. Esta compactación se puede factorizar como , donde está el cicloedro -dimensional. ${\displaystyle d+1}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle (d+1)}$ ${\displaystyle S^{1}\times W_{d+1}}$ ${\displaystyle W_{d+1}}$ ${\displaystyle d}$

Al igual que el asociaedro, el cicloedro se puede recuperar eliminando algunas de las facetas del permutoedro . ^[7]

Propiedades

El gráfico formado por los vértices y aristas del cicloedro de dimensiones es el gráfico invertido de las triangulaciones centralmente simétricas de un polígono convexo con vértices. ^[3] Cuando llega al infinito, el comportamiento asintótico del diámetro de esa gráfica viene dado por ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2d+2}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \lim _{d\rightarrow \infty }{\frac {\Delta }{d}}={\frac {5}{2}}}$. ^[8]

Ver también

• asociaedro
• permutoedro
• permutoasociaedro

Referencias

1. Bott, Raoul ; Taubes, Clifford (1994). "Sobre el autoenlazado de nudos". Revista de Física Matemática . 35 (10): 5247–5287. doi : 10.1063/1.530750. SEÑOR  1295465.
2. Markl, Martín (1999). "Simplex, asociaedro y cicloedro". Matemáticas Contemporáneas . 227 : 235–265. doi :10.1090/conm/227. ISBN 9780821809136. SEÑOR  1665469.
3. Simion, Rodica (2003). "Un asociaedro tipo B". Avances en Matemática Aplicada . 30 (1–2): 2–25. doi :10.1016/S0196-8858(02)00522-5.
4. Stasheff, Jim (1997), "De las óperas a las teorías inspiradas 'físicamente'", en Loday, Jean-Louis; Stasheff, James D.; Voronov, Alexander A. (eds.), Operads: Actas de conferencias del Renacimiento , Matemáticas contemporáneas, vol. 202, Librería AMS, págs. 53–82, ISBN 978-0-8218-0513-8, archivado desde el original el 23 de mayo de 1997 , consultado el 1 de mayo de 2011
5. Chapotón, Frédéric; Serguéi, Fomín ; Zelevinsky, Andrei (2002). "Realizaciones politópicas de asociaedros generalizados". Boletín de Matemáticas Canadiense . 45 (4): 537–566. arXiv : matemáticas/0202004 . doi : 10.4153/CMB-2002-054-1 .
6. Carr, Michael; Devadoss, Satyan (2006). "Complejos de Coxeter y asociados de grafos". Topología y sus aplicaciones . 153 (12): 2155–2168. arXiv : matemáticas/0407229 . doi : 10.1016/j.topol.2005.08.010 .
7. Póstnikov, Alejandro (2009). "Permutohedra, asociahedra y más allá". Avisos internacionales de investigación en matemáticas . 2009 (6): 1026–1106. arXiv : matemáticas/0507163 . doi :10.1093/imrn/rnn153.
8. Pournin, Lionel (2017). "El diámetro asintótico de los cicloedros". Revista Israelí de Matemáticas . 219 : 609–635. arXiv : 1410.5259 . doi : 10.1007/s11856-017-1492-0 .

Otras lecturas

• Forcey, Stefan; Springfield, Derriell (diciembre de 2010), "Álgebras combinatorias geométricas: cicloedro y simplex", Journal of Algebraic Combinatorics , 32 (4): 597–627, arXiv : 0908.3111 , doi : 10.1007/s10801-010-0229-5
• Morton, James; Pachter, Lior ; Shiu, Ana; Sturmfels, Bernd (enero de 2007), "The Cyclohedron Test for Finding Periodic Genes in Time Course Expression Studies", Aplicaciones estadísticas en genética y biología molecular , 6 (1): Artículo 21, arXiv : q-bio/0702049 , doi :10.2202 /1544-6115.1286, PMID  17764440

enlaces externos

• Bryan Jacobs. "Cicloedro". MundoMatemático .