Condición de coherencia

Conjunto de condiciones que requieren que diversas composiciones de morfismos elementales sean iguales

En matemáticas , y en particular en teoría de categorías , una condición de coherencia es un conjunto de condiciones que exigen que varias composiciones de morfismos elementales sean iguales. Normalmente, los morfismos elementales forman parte de los datos de la categoría . Un teorema de coherencia establece que, para asegurarse de que se cumplen todas estas igualdades, basta con comprobar un pequeño número de identidades.

Un ejemplo ilustrativo: una categoría monoidal

Parte de los datos de una categoría monoidal es un morfismo elegido , llamado asociador : ${\displaystyle \alpha _{A,B,C}}$

${\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon (A\otimes B)\otimes C\rightarrow A\otimes (B\otimes C)}$

para cada triple de objetos en la categoría. Utilizando composiciones de estos , se puede construir un morfismo ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle \alpha _{A,B,C}}$

${\displaystyle ((A_{N}\otimes A_{N-1})\otimes A_{N-2})\otimes \cdots \otimes A_{1})\rightarrow (A_{N}\otimes (A_{N-1}\otimes \cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})).}$

En realidad, hay muchas maneras de construir un morfismo como una composición de varios . Una condición de coherencia que se impone normalmente es que estas composiciones sean todas iguales. ${\displaystyle \alpha _{A,B,C}}$

Normalmente, se demuestra una condición de coherencia mediante un teorema de coherencia , que establece que basta con comprobar unas pocas igualdades de composiciones para demostrar que el resto también se cumple. En el ejemplo anterior, basta con comprobar que, para todos los cuádruples de objetos , el siguiente diagrama conmuta. ${\displaystyle A,B,C,D}$

Cualquier par de morfismos de a construidos como composiciones de varios son iguales. ${\displaystyle ((\cdots (A_{N}\otimes A_{N-1})\otimes \cdots )\otimes A_{2})\otimes A_{1})}$ ${\displaystyle (A_{N}\otimes (A_{N-1}\otimes (\cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})\cdots ))}$ ${\displaystyle \alpha _{A,B,C}}$

Más ejemplos

A continuación se presentan dos ejemplos sencillos que ilustran la definición. Ambos se extraen directamente de la definición de categoría.

Identidad

Sea f  : A → B un morfismo de una categoría que contiene dos objetos A y B . Asociados a estos objetos están los morfismos identidad 1 _A  : A → A y 1 _B  : B → B . Al componerlos con f , construimos dos morfismos:

f o 1 _A  : A → B , y

1 _B de  : A → B .​

Ambos son morfismos entre los mismos objetos que f . Tenemos, por lo tanto, el siguiente enunciado de coherencia:

f o 1 _A = f   = 1 _B o f .

Asociatividad de la composición

Sean f  : A → B , g  : B → C y h  : C → D morfismos de una categoría que contiene los objetos A , B , C y D . Por composición repetida, podemos construir un morfismo de A a D de dos maneras:

( h o g ) de : A → D ,  y

h o ( g o f ): A → D .

Ahora tenemos la siguiente declaración de coherencia:

( h o g ) de = h o ( g o f ) .​

En estos dos ejemplos particulares, los enunciados de coherencia son teoremas para el caso de una categoría abstracta, puesto que se desprenden directamente de los axiomas; de hecho, son axiomas . Para el caso de una estructura matemática concreta, pueden considerarse como condiciones, es decir, como requisitos para que la estructura matemática en cuestión sea una categoría concreta, requisitos que dicha estructura puede cumplir o no cumplir.

Referencias

• Kelly, GM (1964). "Sobre las condiciones de MacLane para la coherencia de las asociatividades naturales, conmutatividades, etc." Journal of Algebra . 1 (4): 397–402. doi :10.1016/0021-8693(64)90018-3.
• Kassel, Christian (1995). "Categorías tensoriales". Grupos cuánticos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 155. págs. 275–293. doi :10.1007/978-1-4612-0783-2_11. ISBN 978-1-4612-6900-7.
• Laplaza, Miguel L. (1972). "Coherencia para la distributividad". Coherencia en categorías . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 281. págs. 29–65. doi :10.1007/BFb0059555. ISBN. 978-3-540-05963-9.
• MacLane, Saunders (octubre de 1963). "Asociatividad natural y conmutatividad". Folleto del Instituto Rice - Estudios de la Universidad Rice . hdl :1911/62865.
• Mac Lane, Saunders (1971). "7. Monoids §2 Coherence". Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 4. Springer. págs. 161–165. doi :10.1007/978-1-4612-9839-7_8. ISBN 9781461298397.
• Power, AJ (1989). "Un resultado de coherencia general". Revista de álgebra pura y aplicada . 57 (2): 165–173. doi :10.1016/0022-4049(89)90113-8.