Tensor product of algebras over a field; itself another algebra
En matemáticas , el producto tensorial de dos álgebras sobre un anillo conmutativo R también es un R -álgebra. Esto da el producto tensorial de las álgebras . Cuando el anillo es un campo , la aplicación más común de dichos productos es describir el producto de representaciones de álgebra .
Definición
Sea R un anillo conmutativo y sean A y B R - álgebras . Dado que A y B pueden considerarse ambos módulos R , su producto tensorial
![{\displaystyle A\otimes _ {R}B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
también es un módulo R. Al producto tensorial se le puede dar la estructura de un anillo definiendo el producto en elementos de la forma a ⊗ b por [1]
![{\ Displaystyle (a_ {1} \ otimes b_ {1}) (a_ {2} \ otimes b_ {2}) = a_ {1} a_ {2} \ otimes b_ {1} b_ {2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y luego extendiendo por linealidad a todos A ⊗ R B . Este anillo es un R -álgebra, asociativa y unital con elemento identidad dado por 1 A ⊗ 1 B . [3] donde 1 A y 1 B son los elementos identidad de A y B. Si A y B son conmutativos, entonces el producto tensorial también es conmutativo.
El producto tensorial convierte la categoría de R -álgebras en una categoría monoidal simétrica . [ cita necesaria ]
Otras propiedades
Existen homomorfismos naturales de A y B a A ⊗ R B dados por [4]
![{\displaystyle a\mapsto a\otimes 1_ {B}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b\mapsto 1_ {A}\otimes b}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Estos mapas hacen que el producto tensorial sea el coproducto en la categoría de R -álgebras conmutativas . El producto tensorial no es el coproducto en la categoría de todas las R -álgebras. Allí, el coproducto viene dado por un producto libre de álgebras más general . Sin embargo, el producto tensorial de álgebras no conmutativas puede describirse mediante una propiedad universal similar a la del coproducto:
![{\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,X)\cong \lbrace (f,g)\in {\text{Hom}}(A,X)\times {\text{Hom}} (B,X)\mid \forall a\in A,b\in B:[f(a),g(b)]=0\rbrace ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde [-, -] denota el conmutador . El isomorfismo natural se obtiene identificando un morfismo en el lado izquierdo con el par de morfismos en el lado derecho donde y de manera similar .![{\displaystyle \phi :A\otimes B\to X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (f,g)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(a):=\phi (a\otimes 1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g(b):=\phi (1\otimes b)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aplicaciones
El producto tensorial de las álgebras conmutativas es de uso frecuente en geometría algebraica . Para esquemas afines X , Y , Z con morfismos de X y Z a Y , entonces X = Spec( A ), Y = Spec( R ) y Z = Spec( B ) para algunos anillos conmutativos A , R , B , el El esquema del producto de fibra es el esquema afín correspondiente al producto tensorial de las álgebras:
![{\displaystyle X\times _ {Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _ {R}B).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De manera más general, el producto de fibra de los esquemas se define pegando entre sí productos de fibra afines de esta forma.
Ejemplos
- El producto tensorial se puede utilizar como medio para tomar intersecciones de dos subesquemas en un esquema : considere las -álgebras , entonces su producto tensorial es , que describe la intersección de las curvas algebraicas f = 0 y g = 0 en el plano afín sobre C.
![{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- De manera más general, si es un anillo conmutativo y son ideales, entonces , con un isomorfismo único enviando a .
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I,J\subseteq A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {A}{I}}\otimes _ {A}{\frac {A}{J}}\cong {\frac {A}{I+J}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (a+I)\otimes (b+J)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (ab+I+J)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Los productos tensoriales se pueden utilizar como medio para cambiar coeficientes. Por ejemplo, y .
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(x^{3}+5x^{2}+x-1)\otimes _ {\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /5\cong \mathbb {Z} /5[x,y]/(x^{3}+x-1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(f)\otimes _ {\mathbb {Z} }\mathbb {C} \cong \mathbb {C} [x,y]/(f)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Los productos tensoriales también se pueden utilizar para tomar productos de esquemas afines en un campo. Por ejemplo, es isomorfo al álgebra que corresponde a una superficie afín si f y g no son cero.
![{\displaystyle \mathbb {C} [x_ {1},x_ {2}]/(f(x))\otimes _ {\mathbb {C} }\mathbb {C} [y_ {1}, y_ {2 }]/(g(y))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}]/(f(x),g(y))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {A} _ {\mathbb {C} }^{4}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Dadas -álgebras y cuyos anillos subyacentes son anillos conmutativos graduados , el producto tensorial se convierte en un anillo conmutativo graduado al definir homogéneos ,, y .
![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\otimes _ {R}B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (a\otimes b)(a'\otimes b')=(-1)^{|b||a'|}aa'\otimes bb'}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a'}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b'}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Notas
- ^ Kassel (1995), pág. 32.
- ^ Kassel (1995), pág. 32.
- ^ Kassel (1995), pág. 32.
Referencias
- Kassel, Christian (1995), Grupos cuánticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 155, Springer, ISBN 978-0-387-94370-1.
- Lang, Serge (2002) [publicado por primera vez en 1993]. Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 21. Saltador. ISBN 0-387-95385-X.