En teoría de categorías , una categoría monoide trazada es una categoría con alguna estructura adicional que proporciona una noción razonable de retroalimentación.
Una categoría monoidal simétrica trazada es una categoría monoidal simétrica C junto con una familia de funciones
t r X , Y Ud. : C ( X ⊗ Ud. , Y ⊗ Ud. ) → C ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}:\mathbf {C} (X\otimes U,Y\otimes U)\to \mathbf {C} (X,Y)} llamado rastro , que satisface las siguientes condiciones:
naturalidad en : para cada y , X {\displaystyle X} F : X ⊗ Ud. → Y ⊗ Ud. {\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U} gramo : X ′ → X {\displaystyle g:X'\to X} t r X ′ , Y Ud. ( F ∘ ( gramo ⊗ i d Ud. ) ) = t r X , Y Ud. ( F ) ∘ gramo {\displaystyle \mathrm {Tr} _{X',Y}^{U}(f\circ (g\otimes \mathrm {id} _{U}))=\mathrm {Tr} _{X,Y} ^{U}(f)\circ g} Naturalidad en X naturalidad en : para cada y , Y {\displaystyle Y} F : X ⊗ Ud. → Y ⊗ Ud. {\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U} gramo : Y → Y ′ {\displaystyle g:Y\a Y'} t r X , Y ′ Ud. ( ( gramo ⊗ i d Ud. ) ∘ F ) = gramo ∘ t r X , Y Ud. ( F ) {\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y'}^{U}((g\otimes \mathrm {id} _{U})\circ f)=g\circ \mathrm {Tr} _{X ,Y}^{U}(f)} Naturalidad en Y dinaturalidad en : para todos y Ud. {\displaystyle U} F : X ⊗ Ud. → Y ⊗ Ud. ′ {\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U'} gramo : Ud. ′ → Ud. {\displaystyle g:U'\a U} t r X , Y Ud. ( ( i d Y ⊗ gramo ) ∘ F ) = t r X , Y Ud. ′ ( F ∘ ( i d X ⊗ gramo ) ) {\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}((\mathrm {id} _{Y}\otimes g)\circ f)=\mathrm {Tr} _{X,Y}^ {U'}(f\circ (\mathrm {id} _ {X}\otimes g))} Dinaturalidad en U desapareciendo yo: por cada , (con ser el unitor correcto), F : X ⊗ I → Y ⊗ I {\displaystyle f:X\otimes I\to Y\otimes I} ρ X : X ⊗ I ≅ X {\displaystyle \rho _ {X}\dos puntos X\otimes I\cong X} t r X , Y I ( F ) = ρ Y ∘ F ∘ ρ X − 1 {\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y}^{I}(f)=\rho _{Y}\circ f\circ \rho _{X}^{-1}} Desapareciendo yo Desapareciendo II: por cada F : X ⊗ Ud. ⊗ V → Y ⊗ Ud. ⊗ V {\displaystyle f:X\otimes U\otimes V\to Y\otimes U\otimes V} t r X , Y Ud. ( t r X ⊗ Ud. , Y ⊗ Ud. V ( F ) ) = t r X , Y Ud. ⊗ V ( F ) {\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(\mathrm {Tr} _{X\otimes U,Y\otimes U}^{V}(f))=\mathrm {Tr} _{X,Y}^{U\otimes V}(f)} Desapareciendo II superponiendo: para cada y , F : X ⊗ Ud. → Y ⊗ Ud. {\displaystyle f:X\otimes U\to Y\otimes U} gramo : W. → z {\displaystyle g:W\a Z} gramo ⊗ t r X , Y Ud. ( F ) = t r W. ⊗ X , z ⊗ Y Ud. ( gramo ⊗ F ) {\displaystyle g\otimes \mathrm {Tr} _{X,Y}^{U}(f)=\mathrm {Tr} _{W\otimes X,Z\otimes Y}^{U}(g\otimes F)} superponer t r X , X X ( γ X , X ) = i d X {\displaystyle \mathrm {Tr} _{X,X}^{X}(\gamma _{X,X})=\mathrm {id} _{X}} (donde está la simetría de la categoría monoidal). γ {\displaystyle \gamma}
Tirando
Propiedades Toda categoría cerrada compacta admite una huella. Dada una categoría monoidal trazada C , la construcción Int genera el cierre compacto libre (en algún sentido bicategórico) Int( C ) de C .
Referencias Joyal, André ; Calle, Ross ; Veracidad, Dominic (1996). "Categorías monoidales trazadas". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 119 (3): 447–468. Código Bib : 1996MPCPS.119..447J. doi :10.1017/S0305004100074338. S2CID 50511333.
